11. Все виды уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости.

Линия первого порядка задается формулой Ах+Ву+С=0, где А2+В2/=0.(2)

Прямые на плоскости принадлежат классу линий первого порядка.

Пусть r0 и r радиус векторы точек M0 и M соотв., тогда легко получается параметрическое уравнение прямой l.

R=r0+ts векторное уравнение прямой. От этого уравнения легко перейти к параметрической форме

X=x0+tp

Y=y0+tq

Всякая линия первого порядка есть прямая.

Пусть B/=0, А/=0, тогда точка М0 удовл.уравнению Аx0+By0+C=0. (6) Вычтем из уравнения 2 ур 6, тогда x-x0/-B=y-y0/A=t

Из этого соотношения мы приходим к параметрическому уарвнению

X=x0-Bt

Y=y0+At

Это ур. Определяет прямую линию проходящую через точку М0||S(-B,A)

Если известны координаты двух точек M0(x0,y0) и M1(x1,y1) принадлежащих данной прямой, то в качестве напр. Вектора S можно взять S=M0M(x1-x0,y1-y0) т.е в качестве p=x1-x0,q=y1-y0.

x-x0\x1-x0=y-y0\y1-y0

y=kx+b

xcosa+ycosb-p=0 нормальное ур прямой

12. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов и их свойства.

Скалярным произведением двух векторов назыв число равное призведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(а,б)=|a||b|cos(a,b)

Свойства

(а,б)=(б,а)

(а,б)=0, если а или б =0, или а_|_б

(уа,б)=у(а,б) у принаджелит R

(a,b)=|a|Пр.а b, где Пр.а б ортогональная проекция вектора b на ось проходящую в направлении вектора a.

(a,b+c)=(a,b)+(a,c)

(a,a)=|a|2

Векторным произведением вектора а на б называется вектор с такой

-тройка векторов а б с правая

-вектор с_|_a, c_|_b

-|c|=|a||b|sina

C=[a,b]

Свойства

-[a,b]=-[b,a] антикоммутативность

-[ya,b]=y[a,b]

[a,yb]=y[a,b]

-[a,b+c]=[a,b]+[a,c]

[a+b,c]=[a,c]+[b,c]

-[a,b]=0

-|[a,b]|

-[a[b,c]]/=[[a,b]c]

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением трех векторов назыв число, кот равно скалярному произведению а на векторное [b,c]

(a,b,c)=(a,[b,c])

Свойства

-Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенных на векторах а,б,с.

-Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если эти векторы компланарны.

-(а+а,б,с)=(а,б,с)+(а,б,с)

-(а,б,с)=(с,б,а)=(б,с,а)=-(в,а,с)=-(а,с,б)=-(с,б,а)

13. Переход от одного базиса к другому. Матрица перехода.

Пусть даны два базиса u1,u2…un и v1,v2…vn кот представляет собой 2 разных базиса линейного н-мерного пространства Vn. Следовательно элементы одного базиса выражаются через второй.

V1=t11u1+t21u2+…+tn1un

V2=t12u1+t22u2+…+tn2un

Vn=t1nu1+t22u2+…+tnnun

Тогда матрица [t11 t12 … t1n] состоящая из координат векторов базиса 2, записанных по столбцам наз. Матрицей перехода от старого базиса 1 к новому 2.

14. Векторы и линейные операции над ними. Проекция вектора. Полярная система координат.

М-произвольная точка

R=OM соединающий начало координат с точной М наз радиус вектором точки М, а координаты вектора ом в выбранном базисе наз координатой точки М в системе е1,е2,е3 М(x,y,z)

Если ОМ вектор единичной длины, т.е |ОМ|=1, то a,b,g углы этого вектора с осями Оx,Oy,Oz, то проекция вектора Пр.OхОМ=cosa

Пр.OyOM=cosb

Пр.OzOM=cosg

Операции

-сложение

.а=ОА б=АБ с=а+б(начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора)

Если векторы привести к одному началу, то вектор с это диагональ параллелограмма.

-произведение вектора а на число альфа/=0, назыв вектор б, имеющий направление вектора а, если альфа>0, и противоположное если меньше.

Б=альфа*а, длина вектора |b|=|alfa|*|a|

-под разностью двух векторов, будем понимать сумму а+(-1)б. вектор (-1)б назыв противоположным ветору б.

Свойства

-а+б=б+а

-а+(б+с)=(а+б)+с

-0+а=а

-а+(-а)=0

-(альфа*б)а=альфа(ба), для всех альфа,б принадлежащих R

-(альфа+б)а=альфа*а+б*а(б-бета)

-альфа(а+б)=альфа*а+альфа*б

-1*а=а

Полярной системой координат назыв сопокупность точки О-полюса и выходящего из него луча l, называемого полярной осью.