24.4. Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин

Ранее мы установили, что если события А и В зависимы, то Р(АВ)=Р(А)Р_А (В),

или Р_А (В)= (24.1)

Аналогичное положение имеет место и для случайных величин.

Чтобы охарактеризовать зависимость между составляющими двухмерной величины, введем понятие условного распределения.

Пусть (Х, Y) - дискретная двухмерная случайная величина и возможные значения ее составляющих х₁, х₂, ..., х_n ; у₁, у₂, ... у_m.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы интегральная функция распределения системы (Х,Y) была равна произведению интегральных функций составляющих: F(х, у)=F_х (х)F_у (у).

Следствие. Для того, чтобы непрерывные случайные величины Х и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальная функция системы (Х, Y) была равна произведению дифференциальных функций составляющих: f(х, у)=f_х (х) f_у (у).

24.5. Числовые характеристики системы двух случайных величин

Ранее мы вели числовые характеристики одномерной случайной величины Х - начальные и центральные моменты различных порядков. Важнейшими из них являются математическое ожидание m_х и дисперсия Д_х . Аналогичные числовые характеристики можно ввести и для системы двух случайных величин (Х, Y).

Определение. Начальным моментом порядка k, s системы (Х, Y) называется математическое ожидание произведения Х^k на Y^s

_k,s=М(Х^kY^s) (24.2)

Определение. Центральным моментом порядка k, s системы (Х, Y) называется математическое ожидание произведения k-й и s-й степени отклонений соответствующих величин (центральных величин).

_k,s=[(X–m_x)^k  (Y–m_y)^s] (24.3)

Если обозначить центрированные величины: Х–m_х= , Y–m_y= , то

_k,s= ( ^k ^s) (24.4)

Для дискретных случайных величин:

_k,s=

М_k,s=

Помимо чисел k, s, характеризующих порядок момента по отношению к составляющим, рассматривают суммарный порядок момента k+s соответственно суммарному порядку k+s моменты классифицируются на первые, вторые, ...

Первые начальные моменты:

_{1, 0}=М (Х¹  Y⁰)=М (Х)=m_х,

_{1, 0}=М (Х⁰  Y¹)=М (Y)=m_у.

Точка с координатами (m_х, m_у) характеризует среднее положение системы.

Вторые центральные моменты:

_{2, 0}=( ² ⁰)=( ²)=[(X–m_x)²]=Д_х

_{2, 0}=( ⁰ ²)=( ²)=[(Y–m_y)²]=Д_у

Д_х и Д_у характеризуют меру рассеяния случайных точек относительно математического ожидания в направлении осей Ох и Оу. Таким образом, основные числовые характеристики вычисляются по формулам:

а) для составляющих дискретных величин

m_x=

m_y=

Д_x=

Д_у=

Особую роль играет второй смешанный центральный момент _1,1=М (  ), т.е. математическое ожидание произведения центрованных величин.

Его называют корреляционным моментом (иначе - моментом связи или коэффициентом ковариации и обозначают К_ху,

(иногда обозначают cov (Х, Y)). К_ху=[(x–m_x)  (y–m_y)].

Для дискретной случайной величины

К_ху=

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами Х и Y, а именно:

Теорема. Корреляционный момент двух независимых величин равен 0. (Доказательство теоремы на стр. 178 у Гмурмана). Корреляционный момент двух независимых величин  0 или=0. Корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеяние. Кроме того, его числовое значение зависит от размерности величин Х и Y.

Например, пусть Х и Y были измерены в см и К_ху=2 см².

Если же измерить Х и Y в мм, то К_ху=200 мм². Поэтому проводить сравнения различных систем случайных величин по корреляционному моменту затруднительно. Поэтому вводят новую числовую характеристику (безразмерную) - коэффициент корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин Х и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин: