- •1) Кусочно-гладкие кривые. Способы задания кривых.
- •2)Криволинейные интегралы первого рода
- •3)Механический, экономический и геометрический смыслы криволинейного интеграла первого рода.
- •4)Вычисление кри-1 с помощью определенного интеграла.
- •5. Криволинейные интегралы второго рода
- •6. Связь между кри 1-ого и 2-ого рода
- •7. Вычисление кри-2 с помощью опред. Инт.
- •8. Формула Грина
- •9. Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.
- •10. Восстановление ф-ции по её полному дифференциалу.
- •11. Множества, измеримые по Жордану
- •12. Определение кратного интеграла
- •13. Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику.
- •14. Вычисление двойного интеграла по компакту.
- •17. Замена переменных в двойных интегралах
- •18. Замена переменных в кратном интеграле
- •19. Кратные несобственные интегралы
- •20. Понятие поверхностных интегралов первого и второго рода
- •21.Существования поверхностноо интеграла 1го рода
- •22. Существование поверхностного интеграла второго рода
- •23. Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов
- •24. Формула Остроградского-Гаусса
- •25. Формула Стокса
- •26. Сходимость функции двух переменных
- •27. Понятие определенного интеграла, зависящего от параметра
- •28. Предел, непрерывность, дифференцирование, интегрирование функций, заданных оизоп
- •29. Понятие несобственного интеграла, зависящего от параметра
- •30. Сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра
- •31.Эйлеров интеграл первого рода. Бета-функции.
- •32.Эйлеров интеграл второго рода. Гамма-функции.
- •33.Формулы приведения бета-функции
- •34. Дифференцирование гамма-функции.
- •35.Формула приведения гамма - функции
- •36.Формула связи между бета и гамма функциями
- •37. Определение интеграла Фурье
- •38. Сходимость интеграла Фурье в точке
- •39. Прямое и обратное преобразования Фурье
- •40. Косинус- и синус- преобразования Фурье
23. Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов
Пусть поверхность S задана уравнением: , причем , , – непрерывные функции в замкнутой области T (проекции поверхности S на координатную плоскость , а функция непрерывна на поверхности S.
Нормаль к поверхности S, имеющая направляющие косинусы , , , выбрана к верхней стороне поверхности S. Тогда
Для общего случая имеем:
24. Формула Остроградского-Гаусса
Теорема. Если функция P(x,y,x), Q(x,y,z),R(x,y,z) непрерывно дифференцируемы в обьемно односвязной области G то для любой простой замкнутой области V<G ограниченой кучочно гладкой поверхностью Ф верна формула Остроградского – Гаусса:
Где поверхностный интеграл второго рода вычисляется по внешней стороне поверхности Ф.
Формулу Остроградского – Гаусса можно также записать в виде
Где cos cos – напрявляющие косинусы единичного вектора внешней нормали к поверхности Ф.
25. Формула Стокса
Пусть гладкая двусторонняя поверхность Ф ограниченная гладким контуром L задана параметричекски уравнениями
(u;v)
С помощью функций x (u,v),y(u,v),z(u,v) дважды непрерывно дифференцируемых в замкнутой области ограниченной гладким контуром L*
Контуру L* при отображении определяемом функциями x (u,v),y(u,v),z(u,v) соответствует контур L ограничивающий поверхность Ф. Обходу контура L* на плоскости отвечает обход контура L и наоборот. Условимся считать положительными такое направление обхода контура L которому соответствует положительное направление обхода контура L*. Если единичный вектор n нормали к поверхности определить формулой
cos + cos то при положительном обходе контура L поверхность будет оставаться слева если смотреть с конца вектора n. Таким образом положительное направление обхода границы поверхности согласуется с выбором ее стороны.
cos cos – направляющие косинусы вектора n в произвольной точке М поверхности Ф
Пусть в некоторой пространсвтенной области G целиком содержащей поверхность Ф, заданы непрерывно дифференцируемые функции P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z). Тогда имеет место формула Стокса:
Где обход контура L при выбраной стороне поверхности Ф происходит в положительном направлении.
Эту формулу используя поверхностный интеграл второго рода можно записать следующим образом
26. Сходимость функции двух переменных
Определение 1. Функция f(x,y)→ f(x,y) c Df=G сходится в точке x=x1 из множества Gx при y→ y0 если функция переменной
: y →f (x1,y), , сходится при y→ y0. А предел
Назовем пределом функции f в точке x= x1 при y→ y0
Определение 2. Сужение функции двух переменных
f:(x,y) → f(x,y), Df=G равномерно сходится на множестве , к функции А: x → A(x), , при y→ y0 если для любого положительного числа существует такое положительное число зависящее от что при всех y из множества для которых
0<| y- y0 |< выполняет неравенство |f(x,y)-A(x)|< для всех x из множества .
Критерий Гейне равномерной сходимости. Для того чтобы сужение функции двух переменных f:(x,y) → f(x,y), Df=G равномерно сходилось на множестве , к функции А: x → A(x), , при y→ y0 необходимо и достаточно, чтобы для любой числовой последовательности состоящей из элементов множества , и стремящейся к , соответствующая функциональная последовательность с членами равномерно сходилась на множестве .
M-Критерий равномерной сходимости функции двух переменных к предельной функции. Для того чтобы сужение функции двух переменных f:(x,y) → f(x,y), Df=G равномерно сходилось на множестве , к функции А: x → A(x), , при y→ y0 необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа существовало такое положительное число зависящее от что при всех y из множества для которых 0<| y- y0 |< выполняет неравенство |f(x,y)-A(x)|< для всех x из множества , где положительно число М не зависит ни от х ни от у ни от
Критерий коши равномерной сходимости функции двух переменных. Для того чтобы сужение функции двух переменных f:(x,y) → f(x,y) ), имело предельную функцию при y→ y0 и сходилось к ней равномерно на множестве , необходимо и достаточно, чтобы для любого >0 существовало такое положительное число зависящее от , что при любых из множества таких что 0<| - y0 |< , 0<| - y0 |< , выполнялось неравенство |f (x, )- f(x, )|< для всех x из множества .