9.1 Пример решения задачи о колебаниях одно массовой системы на основе использования встроенной процедуры Rkadapt.
9.2 Разложение аппроксиматора по системе базисных функций. Сведение задачи аппроксимации к системе лау.
Возникает
естественный вопрос, за счет чего же
можно изменить значения критерия при
аппроксимации. Очевидно,
должна зависеть от параметров, варьируя
которыми мы и будем менять ее вид.
Если представить график функции в виде проволоки, то изменяя эти параметры, мы будем по-разному изгибать эту проволоку.
Одним из естественных предположений для выбора функции является следующее:
-
подбираемые варьируемые константы;
-
набор неизменяющихся функций, называемых
базисными.
Пусть
мы имеем
,
тогда требование близости в
среднеквадратическом смысле примет
вид:
где
Найдем это выражение:
Получена система линейных уравнений:
где
-
симметричная матрица.
(1)
Уравнение (1) представляет собой функцию-аппроксиматор.
Необходимо
определить
на интервале
,
а в качестве критерия близости выбираем:
(2)
(3)
Введем обозначения:
(**)
(4)
(5)
Если сравнить (**) с формулой (*) (смотрите ранее), то заметим, что суммирование по точкам заменено интегрированием по отрезку. Понятно, что в программной реализации в лабораторной работе по точечному среднеквадратичному приближению достаточно заменить (*) на формулу (**).
Рассмотрим пример:
Пусть
мы имеем функцию
на интервале
.
Необходимо приблизить функцией
.
Тогда система уравнений (4) примет вид:
10.1 Математическое моделирование механических колебательных систем со сосредоточенными параметрами .Системы с распределенными и сосредоточенными параметрами.
Пусть
на эластичной ленте подвешен деформируемый
груз:
W
U
V
m
k
груз
лента
Рис а – исходный объект , б – расчетная схема при выполнении упрощающих предположений, в- конечная расчетная схема.
При выполнении моделирования , исследователь всегда предполагает получить результаты с нужной ему степенью точности. Во многих ситуациях выполняются некоторые предположения, которые позволяют существенно упростить расчетную схему. Это в дальнейшем позволит значительно упростить саму модель ( ее уравнение, сократить требуемые компьютерные ресурсы для ее реализации).
Предположим что в нашем объекте справедливо следующее:1. Масса груза m>>mленты 2. Податливость ленты значительно > податливости груза, тогда можно считать ленту невесомой не обладающей инерцией, а груз недеформируемым. При этих предположениях можно использовать расчетную схему.
Б) Мы считаем, что вся масса сосредоточена в одной точке, а вся податливость сосредоточена в одном элементе - пружине с жесткостью k.Поэтому такие модели называются модели со сосредоточенными параметрами. Поведение таких объектов описывается либо системами алгебраическими уравнениями (линейными или нелинейными), либо системами ОДУ (если внешние нагрузки зависят от времени)
В том случае если указанные случаи не выполняются схема б не применима при этом перемещение каждой точки системы будут зависеть от всех других точек системы:
U=(x,y,z)
Неизвестными как видно являются функции нескольких переменных, а они входят системы ДУЧП (в частных производных)
Эта задача существенно сложнее модель получена со значительно большим числом неизвестных. Одним из способов решения таких задач является метод конечных элементов.