4. Статистическая обработка эксперимента

4.1. Оценивание дисперсии эксперимента.

Определяются величины строчных дисперсий:

,

где m - кратность дублирования;

i - номер опыта;

j - номер j-го дубля в i-том опыте.

Результаты записываются в расширенную матрицу эксперимента.

4.2 Дисперсия эксперимента:

,

где N - число опытов в эксперименте.

4.3 Проверка постоянства дисперсии воспроизводимости.

При равномерном дублировании производится по критерию Кохрена:

где – максимальная дисперсия в одном из опытов;

– табличное значение критерия Кохрена;

f = m-1 – число степеней свободы этого критерия.

В данном случае:

,

где - критерий Кохрена при уровне значимости α = 5% [3].

Следовательно, ряд дисперсий воспроизводим и первая предпосылка регрессионного анализа выполняется.

4.4 Абсолютная и относительная погрешности эксперимента

Абсолютная погрешность эксперимента находится как доверительная оценка истинного значения случайной величины при неизвестной точности измерений:%

где - значение критерия Стьюдента при доверительно вероятности р = 0,95% и числе степеней свободы . Следует учитывать, что этот критерий двухсторонний и поэтому α = 0,5q, где q = 1-р. По [3] t(2,5; 16) = 2,1199. Поэтому:

.

Относительная погрешность эксперимента равна:

,

где - среднее значение отклика в эксперименте.

,

4.5. Оценка коэффициентов регрессии и свободного члена

Благодаря ортогональности плана ДФЭ оценивание коэффициентов регрессии существенно упрощается, т.к. нет необходимости решать систему нормальных уравнений МНК. Каждый коэффициент регрессии находится по своей формуле2

,

где – номер опыта;

– номера факторов ( ).

,

В результате получается функция регрессии в кодированных значениях факторов:

(3)

Проверка правильности вычислений подстановкой кодированных значений факторов из расширенной матрицы плана эксперимента п 1-й опыт:

что соответствует отклику первого опыта, равного 70.

4.6 Декодирование модели

Связь между кодированными Х_i и натуральными значениями факторов x_i

выражается соотношением:

,

где х_i0 - нулевой уровень по таблице кодирования факторов;

Δ_i - интервал варьирования i - го фактора.

Раскрывая скобки и группируя члены, находим уравнение регрессии в натуральных значениях факторов:

4.6 Проверка значимости коэффициентов регрессии

Для отсеивания не значимых а_i с некоторой вероятностью р используется t-критерий Стьюдента. Если

то данный коэффициент регрессии значим. Здесь , а –дисперсия i-го коэффициента регрессии. Дисперсия оценивается по формуле:

где x_ij – j-е значение i-го фактора. Этот критерий является односторонним.

Дисперсии оценок коэффициентов регрессии (3):

;

;

;

;

;

.

Критерии Стьюдента для коэффициентов регрессии:

; ; ; ; ; ;

По [3] при f₁ = 16 и α = 0,5 t_16,5% = 1,7459. Т.о. все коэффициенты регрессии значимы. Следовательно, все введенные в эксперимент факторы являются существенно влияющими на отклик.

Расчетные значения отклика по (4):

у₁ = 70 у₂ = 26,667 у₃ = 62,333 у₄ = 53,333 у₅ = 66,333 у₆ = 21,667

у₇ = 44,667 у₈ = 31 у₉ = 47.

Из сравнения с видно, что наибольшее расхождение с опытами плана имеется в 6-м опыте. Оно равно 0,33, т.е. относительное отклонение от экспериментального значения отклика составляет:

Но отклонение от отклика в центре плана больше: – 1,67. Поэтому тре-

буется проверка адекватности линейной модели.

4.7 Проверка адекватности линейной модели

При выборе формы уравнения регрессии была принята в качестве первого приближения линейная зависимость. Теперь следует проверить, насколько правильным было это предположение. Проверка выполняется сравнением дисперсии неадекватности с дисперсией эксперимента. Следовательно, нужно

проверить гипотезу:

Для проверки используется критерий Фишера:

,

где ν₁– число степеней свободы дисперсии неадекватности

ν₁ = mN – (d+1);

ν₂ – число степеней свободы дисперсии эксперимента

ν₂ = N(m – 1).

Этот критерий является односторонним.

При равномерном дублировании опытов

,

где – расчетное по уравнению регрессии значение отклика в і-том опыте.

d - число значимых коэффициентов регрессии.

.

,

где величина найдена по таблицам [3]. Очевидно, что линейная аппроксимация адекватна.

4.8 Определение точности регрессионной модели

Производится так же, как и точности эксперимента, но вместо дисперсии эксперимента используется дисперсия неадекватности.

Абсолютная погрешность определения отклика по регрессионной модели:

где - значение критерия Стьюдента при уровне значимости α и числе степеней свободы при равномерном дублировании .

Следует учитывать, что этот критерий двухсторонний и поэтому α = 0,5q, где q = 1– р.

,

где = 1,655 [3].

Относительная погрешность определения отклика по регрессионной модели равна:

,

где = среднее значение отклика по регрессионной модели.

Видно, что точность регрессионной модели практически не отличается от точности эксперимента. Данное снижение точности объясняется дополнительными погрешностями аппроксимации. Следовательно, адекватность линейной модели подтверждена.