§ 4. Теоремы о пределах функций

4.0. Вводная часть

Все теоремы данного параграфа о пределах функций при x→a справедливы для случаев, когда a — число или один из символов ∞, +∞, −∞. Эти теоремы остаются в силе и для односторонних пределов функций при x→a+0 или x→a−0. Доказательства некоторых теорем даны только для случая, когда a — число.

4.1. Основные теоремы о пределах функций

Теорема 4.1. (о единственности предела)

Если функция f(x) при x→a имеет конечный предел, то он единственный.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Предположим, что функция f(x) при x→a имеет два различных конечных предела b1 и b2,b1≠b2. Выберем ε>0 так, чтобы окрестности Oε(b1) и Oε(b2) не пересекались. По определению 3.17, 

limx→af(x)=b1⇔для выбранного ε>0∃δ1>0​:​∀x∈Oδ1(a)\a⇒f(x)∈Oε(b1);

limx→af(x)=b2⇔для выбранного ε>0∃δ2>0​:​∀x∈Oδ2(a)\a⇒f(x)∈Oε(b2).

Возьмем число δ равное наименьшему из чисел δ1 и δ2, и рассмотрим окрестность Oδ(a). Приx∈Oδ(a)\a имеем f(x)∈Oε(b1) и f(x)∈Oε(b2), т.е. окрестности Oε(b1) и Oε(b2)пересекаются, что противоречит выбору ε. Следовательно, исходное предположение неверно, и функция f(x) имеет единственный предел при x→a.

■

Теорема 4.2. (об ограниченности функции, имеющей предел)

Если функция f(x) имеет предел при x→a, то она ограничена в некоторой окрестности точки a.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть limx→af(x)=b. Тогда на основании  определения 3.17 предела функции ∀ε>0 и, в частности, для ε=1 найдется такое δ>0, что ∀x,0<|x−a|<δ, выполняется неравенство|f(x)−b|<1. Так как |f(x)|=|f(x)−b+b|≤|f(x)−b|+|b|, то ∀x,0<|x−a|<δ,справедливо неравенство |f(x)|<1+|b|, что и означает ограниченность функции f(x) в окрестности точки a (см.  определение 3.16).

■

Теорема 4.3. (о пределе сложной функции)

Пусть функция u=ϕ(x) задана на множестве Dϕ, функция y=f(u) — на множестве Df иϕ(x)∈Df (см.  определение 3.3). Если limx→aϕ(x)=b, limu→bf(u)=B, то сложная функцияy=f(ϕ(x)) имеет предел при x→a, причем

limx→af(ϕ(x))=limu→bf(u)

(b, B — числа или один из символов ∞, +∞, +∞).

Теорема 4.3 позволяет осуществлять замену переменной под знаком предела, когда от старой переменнойx→a переходят к новой переменной u=ϕ(x)→b при x→a.

Пример 4.1.

Найти limx→0cosx2.

Р е ш е н и е.

 Полагаем u=x2, где u→0 при x→0. Тогда limx→0cosx2=limx→0cosu=1 (см.  пример 3.2).

4.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства

Определение 4.1.

Функция α(x) называется бесконечно малой при x→a, если limx→aα(x)=0 ( a — число или один из символов ∞, +∞, +∞). В случае, когда a — число, согласно  определению 3.17, имеем 

limx→af(x)=0⇔∀ε>0∃δ>0​:​∀x,0<|x−a|<δ⇒|α(x)|<ε.

Используя  определение предела 3.17, можно доказать, что бесконечно малыми будут, например, следующие функции:

1) α(x)=x при x→0;

2) α(x)=Cxn при x→∞ (C — постоянная);

3) α(x)=1−x при x→1.

Теорема 4.4. (о связи функции и её предела)

Для того чтобы функция y=f(x) при x→a имела конечный предел b, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде f(x)=b+α(x), где α(x) — бесконечно малая функция приx→a. Другими словами, 

limx→af(x)=b⇔f(x)=b+α(x),где​α(x)→0при​x→a.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Необходимость. Пусть limx→af(x)=b (a — число). Тогда, по  определению 3.17, можно записать

∀ε>0∃δ>0​:​∀x,0<|x−a|<δ⇒|f(x)−b|<ε.

Следовательно, по  определению 4.1, f(x)−b=α(x) — бесконечно малая функция приx→a. Из последнего равенства имеем f(x)=b+α(x).

Достаточность. Пусть f(x)=b+α(x), где α(x) — бесконечно малая при x→a. Тогдаf(x)−b=α(x). Согласно  определению 4.1 бесконечно малой функции запишем 

∀ε>0∃δ>0​:​∀x,0<|x−a|<δ⇒|α(x)|=|f(x)−b|<ε.

Отсюда, на основании  определения предела 3.17, заключаем, что limx→af(x)=b. Теорема полностью доказана.

■

Теорема 4.5. 

Сумма (разность) двух бесконечно малых функций при x→a есть бесконечно малая функция приx→a.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть limx→aα(x)=0 и limx→aβ(x)=0, т.е. α(x) и β(x) — бесконечно малые при x→a ( a — число). Выберем произвольно число ε>0. По  определению 4.1 имеем 

limx→aα(x)=0⇔для выбранного ε>0∃δ1>0​:​∀x,0<|x−a|<δ1⇒|α(x)|<ε2;

limx→aβ(x)=0⇔для выбранного ε>0∃δ2>0​:​∀x,0<|x−a|<δ2⇒|β(x)|<ε2.

Возьмем в качестве δ наименьшее из чисел δ1 и δ2 . Тогда, используя неравенство для модуля суммы (разности), ∀x,0<|x−a|<δ, получим 

|α(x)±β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε2+ε2=ε.

Таким образом, по  определению 4.1, сумма α(x)+β(x) (разность α(x)−β(x)) есть бесконечно малая функция при x→a, что и требовалось доказать.

■

Теорема 4.5 может быть обобщена на любое конечное число бесконечно малых функций, т.е. алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при x→a есть бесконечно малая функция при x→a.

Теорема 4.6. 

Произведение двух бесконечно малых функций при x→a есть бесконечно малая функция при x→a.

Отсюда следует, что произведение конечного числа бесконечно малых функций при x→a есть бесконечно малая функция при x→a.

Теорема 4.7. 

Произведение бесконечно малой функции при x→a на функцию, ограниченную в некоторой окрестности точки a, есть бесконечно малая функция при x→a.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть α(x) — бесконечно малая функция при x→a, функция ϕ(x) ограничена в δ-окрестноститочки a. Тогда по определению 3.16, существует число c>0 такое, что∀x,0<|x−a|<δ⇒|ϕ(x)|<c. Согласно  определению 4.1, α(x) — бесконечно малая функция при x→a, если

∀ε>0∃δ>0​:​∀x,0<|x−a|<δ⇒|α(x)|<εc.

Найдем |α(x)⋅ϕ(x)|=|α(x)|⋅|ϕ(x)|<c⋅εc=ε ∀x,0<|x−a|<δ. Таким образом, 

∀ε>0∃δ>0​:​∀x,0<|x−a|<δ⇒|α(x)⋅ϕ(x)|<ε,

т.е., по  определению 4.1, функция α(x)⋅ϕ(x) — бесконечно малая при x→a. Теорема доказана.

■

Пример 4.2.

Найти limx→0(x⋅sin1x).

Р е ш е н и е.

 Так как limx→0x=0, а функция sin1x ограничена ∀x≠0 (∣∣sin1x∣∣≤1при всехx≠0),то limx→0(x⋅sin1x)=0.

Замечание 4.1.

О пределе частного двух бесконечно малых функций ничего определенного сказать нельзя. Этот предел может быть конечным или бесконечным или не существовать вообще. Говорят, что в этом случае имеет место неопределенность вида [00] (ноль делить на ноль).

Например,

1) если limx→∞α(x)=limx→∞1x=0, limx→∞β(x)=limx→∞1x2=0, то limx→∞α(x)β(x)=limx→∞x=∞,limx→∞β(x)α(x)=limx→∞1x=0;

2) если limx→∞α(x)=limx→∞1x=0, limx→∞β(x)=limx→∞2x=0, то limx→∞α(x)β(x)=limx→∞12=12;

3) если limx→0α(x)=limx→0xsin1x=0, limx→0β(x)=x=0, то limx→0α(x)β(x)=limx→∞sin1x не существует.

Определение 4.2.

Функция, имеющая бесконечный предел при x→a, называется бесконечно большой при x→a ( a — число или — число или один из символов ∞, +∞, −∞). Если её предел равен +∞ (−∞), то функция называется положительной (отрицательной) бесконечно большой.

Так, функция f(x)=1x2 при x→0 есть положительная бесконечно большая, функция ϕ(x)=−x3 при x→+∞— отрицательная бесконечно большая.

Замечание 4.2.

Определения, аналогичные определениям  4.1 и  4.2, имеют место и для случаев, когда x→a+0или x→a−0.

Теорема 4.8. 

Если f(x) — бесконечно большая функция при x→a, то 1f(x) — бесконечно малая при x→a. Еслиf(x) — бесконечно малая функция при x→a и f(x)≠0 в некоторой окрестности точки a, то 1f(x) — бесконечно большая при x→a.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть f(x) — бесконечно большая функция при x→a ( a — число). По  определению 4.2, с учетом  определения 3.21, имеем

∀K=1ε>0∃δ>0​:​∀x,0<|x−a|<δ⇒|f(x)|>K.

Для тех же x имеем ∣∣1f(x)∣∣<1K=ε, т.е. 1f(x) — бесконечно малая при x→a.

Пусть f(x) — бесконечно малая функция при x→a, и f(x)≠0 в некоторой окрестности точкиx=a. Согласно  определению 4.1 запишем

∀ε=1K>0∃δ>0​:​∀x,0<|x−a|<δ⇒|f(x)|<ε.

Для тех же x имеем

∣∣∣1f(x)∣∣∣>1ε=K,

т.е. 1f(x) — бесконечно большая при x→a. Теорема полностью доказана.

■

Например, функция f(x)=xn (n∈ℕ) — бесконечно малая при x→0, и f(x)≠0 в любой окрестности точки x=0. Следовательно, ϕ(x)=1f(x)=1xn — бесконечно большая функция при x→0.Так как f(x)=xn (n∈ℕ) — бесконечно большая функция при x→∞, то ϕ(x)=1f(x)=1xn — бесконечно малая функция при x→∞.

Теорема 4.9. 

Сумма двух бесконечно больших функций одного знака при x→a есть бесконечно большая функция того же знака при x→a.

Так, например, если limn→∞n2=+∞ и limn→∞2n=+∞, то limn→∞(n2+2n)=+∞.

Замечание 4.3.

Разность двух бесконечно больших одного знака есть неопределенность вида [∞−∞] (о понятии "неопределённость" см.  замечание 4.1).

Теорема 4.10. 

Произведение двух бесконечно больших функций при x→a есть бесконечно большая функция приx→a.

Например, limx→+∞(x⋅ex)=+∞, поскольку limx→+∞x=+∞ и limx→+∞ex=+∞.

Теорема 4.11. 

Произведение бесконечно большой функции при x→a на функцию, имеющую при x→a бесконечный или конечный, но отличный от нуля предел, есть бесконечно большая функция при x→a.

Например, limx→π2−0(x⋅tgx)=+∞, так как limx→π2−0x=π2, limx→π2−0tgx=+∞.

Замечание 4.4.

Отметим, что предел частного двух бесконечно больших функций и предел произведения бесконечно малой на бесконечно большую функцию не определены. Принято говорить, что в этих случаях имеет место неопределенность соответственно вида [∞∞] или [0⋅∞] (см.  замечание 4.1). Нахождение предела во всех подобных случаях часто называют "раскрытием неопределенности".