- •Функции и способы их задания. Элементарные функции
- •Предел последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •Определение предела функции. Примеры.
- •Основные свойства пределов. Замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва 1 и 2 рода.
- •Свойства непрерывных функций
- •Производная функции. Геометрический и физический смысл производной.
- •Дифференциал функции. Основные правила дифференцирования.
- •9) Основные правила дифференциального исчисления.
- •10 ) Правило Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена.
- •11) Исследование функции с помощью дифференциального исчисления.
- •12) Функции нескольких переменных. Частные производные.
- •13) Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •14) Неопределенный интеграл и его основные свойства.
- •15) Замена переменных и интегрирование по частям для неопределенного интеграла.
- •16) Интегрирование рациональных функций.
- •17) (Подписать к графику!!) Интегральная сумма и определенный интеграл.
- •18) Основные свойства определенных интегралов. Методы интегрирования.
- •19) Геометрические приложения определенного интеграла.
- •1) Вычисление площади плоских фигур
- •2) Вычисление объема
- •20) Приближенное вычисление определенного интеграла. Методы интегрирования.
- •1) Формула прямоугольников
- •2) Формула трапеции
- •21) Дифференциальные уравнения. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
- •22) Задача Коши и теорема Коши.
- •23) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •24) Решение дифференциальных уравнений методом подстановки (метод Бернулли)
- •Первый способ
- •Второй способ
- •25) Решение дифференциальных уравнений методом вариации постоянной (метод Лангранжа) Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)
22) Задача Коши и теорема Коши.
Теорема Коши.
Если функция f(x,y) и ее частная производная f’y(x,y) определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Oxy, то какова бы ни была внутренняя точка (х0,y0) области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения y’= f(x,y), удовлетворяющее условиям:
y=y0 при x=x0
Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее неизвестно, имеет ли оно решение. Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку (х0,y0) области G проходит единственная интегральная кривая.
Условия y=y0 при x=x0, в силу которых функция y=ϕ(x) принимает заданное значение y0 в заданной точке х0, называют начальными условиями решения:
y| = y0
|x=x0
Отыскание решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям-одна из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши. С геометрической точки зрения решить задачу Коши – значит из множества интегральных кривых, выделить ту, которая проходит через заданную точку (х0,y0) плоскости Oxy.
Иногда начальные условия называют условиями Коши, а частным решением называют решение какой-нибудь задачи Коши.
Пример.
Рассмотрим уравнение y’=3 .
Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Оно удовлетворяет всем условиям теоремы Коши, так как функции f(x,y)= 3 и f’(x,y)=0 определены и непрерывны на всей плоскости Oxy. Легко проверить, что функция y= +C , где С-произвольная постоянная, является общим решением данного уравнения во всей плоскости Oxy.
При различных значения С получаем различные решения данного уравнения y= +C, для отыскания частного решения (решения какой-нибудь задачи Коши) зададим произвольные начальные условия y=y0, x=x0. Подставим эти значения в общее решение вместо x и y, получим y0= +C, откуда С= y0- . Таким образом, найдено частное решение y= + y0-
23) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Определение.
Уравнение вида y’=f1(x)f2(x), где f1(x) и f2(x) – непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющими переменными.
Для отыскания решения уравнения нужно разделить в нем переменные. Для этого заменим y’ на , разделим обе части уравнения на f2(y)≠0 и умножим на dx. Тогда уравнение принимает вид:
=f1(x)dx, переменная х входит только в правую часть, а y в левую, соответственно они разделены.
Подставляя функцию y=ϕ(x) в тождество и интегрируя его получаем неявным образом общее решение уравнения:
24) Решение дифференциальных уравнений методом подстановки (метод Бернулли)
Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
называется уравнением Бернулли (при n = 0 или n = 1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году. Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году