3 Билет

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.

2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.

3. Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.

4. Записать обратную матрицу А^-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу   из уравнения  , необходимо умножить это уравнение на   слева.

Тогда:

Следовательно, чтобы найти решение   уравнения  , нужно найти обратную матрицу  и умножить ее на матрицу  , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если 

Решение: Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

4 Билет

4.1. Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа a_ij называются коэффициентами системы, числа b_i— свободными членами. Подлежат нахождению числа x_n.

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме

AX=B

Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

— вектор-столбец из неизвестных x_j.

— вектор-столбец из свободных членов b_i.

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется n значений неизвестных  х₁=c₁, x₂=c₂, ..., x_n=c_n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записатьв виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, инесовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.  Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как  x₁=x₂=x₃=...=x_n=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.