3.2. Расход. Уравнение расхода

Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение струйки (потока) в единицу времени. Это количество можно измерить в единицах объема, в единицах массы или весовых единицах. В связи с этим различают объемный Q, массовый Q_m и весовой Q_G расходы.

Для элементарной струйки, имеющей бесконечно малые поперечные сечения, можем считать мгновенную скорость V одинаковой во всех точках каждого сечения. Тогда для этой струйки имеем:

объемный расход [м³/с];. (3.9)

массовый расход [кг/с]; (3.10)

весовой расход [Н/с]. (3.11)

Для струйки (потока) конечных размеров в общем случае скорость частиц по живому сечению имеет различные значения, поэтому расход надо определять как сумму элементарных расходов струек

. (3.12)

На практике для расчетов используют понятие средней скорости по сечению потока , и тогда

. (3.13)

Основываясь на законе сохранения вещества, на предположении о сплошности (неразрывности) течения и на указанное выше свойство трубки тока, заключающемся в ее "непроницаемости", для установивше­гося течения несжимаемой жидкости можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки один и тот же

. (3.14)

Это уравнение называется уравнением объемного расхода для эле­ментарной струйки.

Для потока несжимаемой жидкости конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками (например, трубопровод), можно воспользоваться средней скоростью по сечению

. (3.15)

Из этого уравнения следует, что средние скорости в потоке несжи­маемой жидкости обратно пропорциональны площади сечений

. (3.16)

Для реальной сжимаемой жидкости формулы (3.14) и (3.15) приемлемы только отчасти, т.к. в этом случае меняется плотность жидкости и на участке потока между двумя рассматриваемыми сечениями будет происходить накопление или убыль количества жидкости.

3.3. Движение жидкой частицы. Понятие о вихревом и потенциальном движении

В потоке движущейся жидкости ее частицы перемещаются в прост­ранстве и меняют свою форму (деформируются).

Рассмотрим жидкую частицу, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда с бесконечно малыми ребрами dх, dу, dz, которые параллельны соответствующим осям координат (рис.3.2).

Рис.3.2. Схема движения жидкой частицы

Считаем вершину А параллелепипеда с координатами х, у, z полюсом и в некоторый момент времени t в нем местные скорости равны V_х,V_у, V_z. Тогда поступательное перемещение параллелепипеда как целого за время dt представляется проекциями V_хdt,V_уdt, V_zdt. В плоскости координат XОY это может быть представлено так, как изображено, на рис.3.3, а.

Считая скорость непрерывной и дифференцируемой функцией координат, местные скорости в других вершинах параллелепипеда, выраженные через скорости в точке А, будут иметь значения (рис.3.2), отличные от значений скорости в точке А.

Рис.3.3. Схемы перемещения и деформации жидкой частицы

в плоскости координат XОY

При таких различиях в значениях местных скоростей в вершинах параллелепипеда очевидно, что грани не только перемещаются в пространстве, но и деформируются.

В силу малости ребер параллелепипеда можно считать, что в течение малого промежутка времени dt ребра остаются прямыми, и деформацию параллелепипеда можно представить как сумму объемных и угловых деформаций.

Объемная деформация параллелепипеда может быть охарактеризована удлинениями ребер (рис.3.3, б)

. (3.17)

Тогда скорости удлинения отрезков единичной длины составят

. (3.18)

Угловая деформация характеризуется изменениями углов (рис.3.3, в). Прямой угол между ребрами АВ и АD в плоскости XОY при движении жидкости изменяется на сумму углов .

Угол сдвига d между начальным положением ребра АD и положением АD' через время dt составит

. (3.19)

Для угла dβ по аналогии имеем

. (3.20)

Тогда угловая деформация будет

. (3.21)

Скорость угловой деформации в плоскости XОY равна

. (3.22)

В плоскостях Y0Z и X0Z скорости угловых деформаций, соответс­твенно, составят

. (3.23)

Обычно скорости угловых деформаций представляют в виде

(3.24)

Индекс при скорости угловой деформации указывает, что угловая деформация происходит в плоскости, нормальной к данной оси координат.

Если приняты скорости угловых деформаций по зависимостям (3.24), для определения истинного перемещения ребер параллелепипеда следует деформированные грани повернуть на некоторые углы. При этом угловая скорость грани АВСD относительно оси 0Z найдется как

или . (3.25)

В итоге для угловых скоростей граней относительно осей ОX, OY, OZ имеем

(3.26)

Таким образом, движение рассматриваемой грани представляется в виде суммы поступательного перемещения вместе с полюсом и деформированного движения вращения относительно некоторой мгновенной оси, проходящей через полюс. Этот вывод носит название теоремы Коши-Гельмгольца.