Условие курсовой работы.

Составить план выпуска изделий, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Провести анализ решения.

Исходные данные представлены в таблице 2.

Таблица 2

Вид сырья	Количество сырья, идущего на единицу изделия		Запас сырья
	Плита	Перемычка
Песок	7	5	70
Щебень	9	4	80
Цемент	2	2	30
Прибыль от единицы изделия	30	19

Решение.

Обозначим через х₁ и х₂ число единиц плит и перемычек, запланированных к производству. В качестве целевой функции f(x₁,x₂) возьмем суммарную прибыль от реализации продуктов: f(x₁,x₂) = 30х₁ + 19х₂. Запас песка, щебня и цемента примем за ограничения, накладываемые на переменные х₁ и х₂.

В указанной постановке решаемая задача может быть сформулирована как задача поиска условного экстремума:

30х₁ + 19х₂  max;

7х₁ + 5х₂ ≤ 70;

9х₁ + 4х₂≤ 80;

2х₁ + 2х₂ ≤ 30;

х₁0;

х₂0.

Решим задачу методом множителей Лагранжа.

1.Приведем ограничения к виду (Х)  0:

7х₁ +5х₂-70  0;

9х₁ +4х₂ -80 0;

2х₁ +2х₂-30  0;

-х₁0;

-х₂0.

2.Путем ведения дополнительных переменных х₃,х₄,х₅,х₆,х₇ перейдем к ограничениям-равенствам:

7х₁ +5х₂ -70+ х₃² = 0;

9х₁ + 4х₂-80 +х₄² = 0;

2х₁ +2х₂-30 +х₅² = 0;

-х₁ + х₆² = 0;

-х₂ + х₇² = 0.

3. Сформируем функцию Лагранжа:

Ф(х₁,х₂,х₃,х₄,х₅,х₆,х₇,₁,₂,₃,₄,₅) =

= 30х₁ + 19х₂ +₁(7х₁ +5х₂-70 + х₃²) +₂(9х₁ +4х₂-80 +х₄²)+₃(2х₁ +2х₂-30 +х₅²)+

+₄(-х₁ + х₆²)+ ₅(-х₂ + х₇²).

4.Составим необходимые условия Ф(Х,)=0:

5.Решить полученную систему нелинейных уравнений можно каким-либо формальным методом с помощью, например, средств математического пакета Mathcad:

Необходимо отметить, что значительный размер сформированной системы уравнений, полученных из необходимых условий (12 уравнений), вызван

во-первых, с тем, что переход от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам осуществляется путем введения дополнительных переменных х₃,х₄,х₅,х₆,х₇, число которых равно числу ограничений-неравенств;

во-вторых, с тем, что переход от задачи нахождения условного экстремума к задаче безусловного поиска возможен, в соответствии с методом Лагранжа, с помощью введения дополнительных переменных ₁,₂,₃,₄,₅, число которых равно общему числу ограничений задачи.

Таким образом, решение задачи методом Лагранжа получено ценой повышения ее размерности. Этот недостаток ограничивает область применения метода Лагранжа сравнительно простыми задачами, поэтому с повышением числа переменных и ограничений целесообразно переходить к численным методам математического программирования.

Анализ решения.

Для проверки правильности полученных результатов и осмысления содержательной стороны решаемой задачи поиска условного экстремума проведем ее анализ. Переписав исходную систему ограничений-неравенств в виде

получаем возможность графически представить эти ограничения на плоскости х₂ох₁ в виде прямых _б(х₁); _ж(х₁); _у(х₁); х₂=0; х₁=0, снабдив их штриховкой, направленной в сторону области допустимых значений х₁ и х₂, рис.6.

Как следует из рис.6, область допустимых решений является замкнутой, допустимые значений х₁ и х₂ ограничены, и любая пара их допустимых значений, например, точка D, выполняет условия, наложенные в связи с ограниченным количеством сырья.

Поскольку целью задачи является нахождение максимальной прибыли, пропорциональной количеству единиц х₁ и х₂, очевидно, что искомое решение будет лежать на границе области допустимых решений, составленной отрезками 1-2-3, ограничивающей значения х₁ и х₂ сверху.

При этом решения на интервале [1-2) обеспечивают полный расход песка и остаток щебня и цемента; на интервале (2-3]  полный расход щебня и остаток песка и цемента. В смежной точке 2 активно два ограничения: полный расход песка и щебня при остатке цемента.

Найденное решение, как это было установлено выше, обеспечивает остаток цемента, но, тем не менее, это лучшее решение при данных условиях. Проведенный анализ показывает, что экстремум в данной задаче можно было найти более рациональным способом  решить систему двух уравнений, составляющих ограничения по количеству песка и щебня:

7х₁ + 5х₂ = 70;

9х₁ + 4х₂ = 80.

Решение этой системы и поверка граничных условий представлены в программе:

Проверка показывает полное совпадение результатов с решением по методу Лагранжа, а также подтверждает ожидаемое строгое выполнение условий по количеству песка (70 единиц) и щебня (80 единиц) с неизрасходованным цементом (22,354<30).

Вывод.

В ходе данной работы мы сумели изучить метод множителей Лагранжа. С помощью этого метода мы составили план выпуска изделий, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. В качестве целевой функции f(x1,x2) мы взяли суммарную прибыль от производства плит и перемычек, нашли для нее условный максимум методом множителей Лагранжа. Затем, в ходе анализа решения, провели проверку всех ограничений, наложенных в связи с лимитированным количеством сырья, и решили задачу более рациональным методом. Проверка показала полное совпадение результатов, полученных в ходе решения методом множителей Лагранжа и рациональным методом.