- •1. Матрицы. Действия над матрицами.
- •2. Элементарные преобразования матриц.
- •3. Определители.
- •4. Обратная матрица.
- •5.Системы линейных уравнений.
- •6. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и формул Крамера.
- •7.Решение систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса.
- •8. Решение однородных систем линейных уравнений.
- •9. Векторы и действия над ними.
- •10. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.
- •11. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •12. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •13. Векторное произведение векторов в координатах.
- •14. Смешанное произведение векторов и его свойства.
- •15. Выражение смешанного произведения через координаты. Некоторые приложения смешанного произведения.
- •16. Полярная система координат. Деление отрезка в данном отношении.
- •25. Гипербола. Каноничское уравнение уравнение гиберболы. Эксцентриситет гиперболы.
- •26. Асимптоты гиперболы. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптотами которой служат оси координат.
- •27. Парабола. Каноническое уравение параболы.
- •28. Поверхность в пространстве и её уравнение. Уравнение сферы.
1. Матрицы. Действия над матрицами.
Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины).
Матрицы равны, если все эл-ты этих матриц соответственно равны.
Квадратная матрица – m=n
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главное диагонали равны нулю называется диагональной
Диагональная матрица у которой каждый элемент главное диагонали равен единице называется единичной
Действия над матрицами.
Сложение – суммой двух матриц называется матрица С mxn=(cij)
Умножение на число – произведением матрицы называется на число k называется матрица такая что матрица х число.
2. Элементарные преобразования матриц.
Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы
Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля
Прибавление ко всем эл-там ряда матрицы соответствующих эл-тов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число
Две матрицы эквивалентны если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований
Произведение матриц.
Произведением матриц называется матрица С mxp=(сik)
Если матрицы одного размера то их произведения существуют всегда.
3. Определители.
Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A называемое её определителем:
n = 1. A=(a1); det A = a1.
n = 2. Det A = a11 a22 – a12 a21
n = 3. Det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 – a31a22a13-a21a12a33 – a32a23a11
Определителем(детерминантом) 1-го порядка квадратной матрицы А=(а11) называется значение а11:det A= a11.
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников
«+»
«-»
1) Правило треугольников (правило Саррюса)вычисления определителей 3го порядка: первое из трех слагаемых. Входящих в сумму со знаком «+», есть произведение элементов главное диагонали, второе и третье – произведения элементов, находящихся в вершинах двух треугольников с основанниями, параллельными главной диагонали. Три слагаемых, входящих в сумму со знаком «-» определяются аналогично, но относительно второй (побочной) диагонали.
2) Разложение определителя 3-го порядка по первой строке:
При таком способе вычисления определителя каждый из трех элементов а1j первой строки умножается на определитель 2-го порядка, составленный из элементов матрицы А, оставшихся после вычеркивания 1-й строки и j-го столбца. При этом слагаемое с множителем а1j умножается на число (-1)1+j:
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13
Det A = (-1)1+1•a11• a21 a22 a23 + (-1)1+2 • a12 • a21 a22 a23 +(-1)1+3 • a13 • a21 a22 a23 .
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33
Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка сводится к вычислению 3-х определителей 2-го порядка. В общем случае можно вычислять определитель n-го порядка квадратной матрицы А, сводя его к вычислению n определителей (n-1)-го порядка.
3. Разложение определителя n-го порядка по первой строке. Люто ничего не понел.
Минором некоторого элемента аij определителя n-го порядка называется определитель n–1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij.
Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i+j– четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначется Аij:Aij=(-1)i+j•mij.
Дополнительным минором Mij к элементу аij квадратной матрицы А называется минор, составленный из элементов А, оставшихся после вычеркивания i-й строки и j-го столбца.
Свойства определителей.
Если у определителя какая-либо строка (столбец) состоит только из нулей, то определитель равен 0.
Если какие-либо две строки (два столбца) определителя пропорциональный, то определитель равен 0.
Если какую-либо строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определитель умножится на это число.
Если две строки (два столбца) определителя прибавить поменять местами, то определитель изменит знак.
Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить какую-либо другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то определитель не изменится.
Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
Матрица, определитель которой равен 0, называется вырожденной; матрица, определитель которой не равен 0, называется невырожденной. (кэп?)
Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.