- •1.Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины(или n столбцов одинаковой длины).
- •2.Умножение матрицы на число
- •3.Умножение матриц
- •2 Матр а и в соглас-е, если число строк матр а равно числу столбцов матр в, и наоборот.
- •9. Система m-линейных ур-й с n неизв-ми. Матричная запись системы. М-д обр матрицы. М-д Крамера.
- •10. Метод Гаусса. Эквив преобраз-я систем. Базисные и своб неизвестные. Критерий совместности.
- •Перестановка уравнений системы.
- •По исх сист записываем расшир матр системы.
- •Amn ≠ 0 – система имеет единственное решение
- •11. Системы линейных однородных уравнений.
- •13.Вектор на плоскости и в простр-ве. Лин опер-и над в-ми, их св-ва. Базис на пл-ти и в простр-ве. Ортонормированный базис.
- •21.Уравнение прямой-уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой и только этой прямой.
- •23.Углом между двумя прямыми называется любой из двух углов, образованных прямыми при их пересечении.
- •25.Расстояние от точки до прямой
- •26,27.Окружность
- •28.Гипербола, ее характеристики, геометрические свойства
- •29.Где идут буквы с нулями-это значит,например x0,только в уменьшенном варианте где s,n-это вектора ,сверху палочку подрисуйте¯; √- этот корень всегда доводите до конца выражения
- •30.Плоскость.Условие параллел-ти и перпендик-ти
- •1 Из спос-в зад-я пл-ти через зад точку m0(x0,y0,z0) с заданным нормальным вектором n(a;b;c)
- •31.Расстояние от точки до плоскости.Угол между плоскостями
- •32.Пр линия в пр-ве.Параметрич ур-е прям.Канонич ур-е пр
- •36.Предел числовой последовательности (чп).
- •X1, x2,…xn,…-числ послед.(1), xn-общ член чп.
- •37.Понятие ф-и. Сп-бы задания ф-й, оп-ции над ними. Обр ф-ия. Элемент ф-ии, их классификация.
- •39.Осн теоремы о пределах. Замечат пределы.
- •40.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- •1)Первая теорема Вейерштрасса
- •2) Вторая теорема Вейерштрасса
- •3) Теорема Больцано-Коши о промежут.Значении
- •43.Произв. Ф-ции. Геометр., механ., экон. Смысл произ-ной. Эласт-сть ф-ции, ее экон приложение.
- •45.Производная показательной неявной функции. Производные высших порядков:
- •47.Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.
- •55.Понятие функции многих переменных
- •56.Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
- •57.Частные производные первого и второго порядка
- •58.Полный дифференциал функции 2-х переменных и его приложения
- •2) , Экстр-ма в т. Нет
- •3) , Треб-ся доп исслед-е
- •1) Выбор точки ; 2) устан-ть вид вычисл-мой ф-и
- •2) , Экстр-ма в т. Нет
- •3) , Треб-ся доп исслед-е
- •62.Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных
- •1 Из алгоритмов реш-я этой задачи сводится к след
- •II этап
- •64,65.Неопред интеграл, первообразная и их св-ва.
- •67.Интегрир-е путем замены переменной(подстановкой)
- •72.Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •73.Формула Ньютона-Лейбница (вывод)
- •74.Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •2)Определение средних значений
- •Издержек производства
- •2)И. На конечном промежутке
- •82.Дифференциальное уравнение(ду)
- •83.Ду 1го порядка
- •2)Имеет частную произв-ю по y для любой точки
- •92,93Лин неоднор ду 2-го порядка с пост коэфф-ми.
- •94.Числовой ряд и его сходимость.
- •2.Сумма ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Гармонический ряд (док-во его расходимости).
- •96.Свойства сходящихся рядов
- •97.Достат признаки сх-ти ряда с положит членами.
- •98. Признаки сравнения рядов
- •101.Теорема Абеля.
- •103.Свойства степенных рядов .
- •2) Степенной ряд можно дифференцировать бесконечное число раз.
- •3) На произвольные функциональные ряды данная теорема без специальных предположений не распространяется.
- •104.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •105.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
- •106.Применение рядов в приближенных вычислениях. Оценка точности вычислений
- •99. Знакочеред ряды. Достат усл-е сх-ти (теорема Лейбница). Абсол и условная сходимость.
- •Определение опред. Интеграла
106.Применение рядов в приближенных вычислениях. Оценка точности вычислений
Разложение ф-ций в степенные ряды позволяет применять эти ряды для приближенного вычисления значений ф-ций, определенных интегралов, решения дифференциальных уравнений. Для вычисления приближенного значения ф-ции в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов, а остальные члены отбрасывают. Чтобы получить погрешность найденного приближенного значения, нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный ,то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Если ряд знакопеременный и члены его удовлетворяют признаку Лейбница, то ипользуется оценка
∆<|un+1|, где un+1 – первый из отброшенных членов, т.е. ошибка приближенного вычисления не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов.
71. Осн св-ва опред интеграла
Значение о.и. не зависит от обозначения переменной интегрирования.
Если , x € [a;b]
99. Знакочеред ряды. Достат усл-е сх-ти (теорема Лейбница). Абсол и условная сходимость.
О. Ряд вида (1)
наз знакочеред-ся.
Признак Лейбница (сх-ть знакочер ряда).
Для того, чтобы ряд (1) сх-ся достаточно, чтобы абсол значения убывали и →0 при возрастании n, т.е.
О. Если ряд, сост из абсол значений величин сх-ся, то ряд наз абсолютно сходящимся.
Теорема: Если ряд явл абсол сх-ся, то исх ряд сх-ся.
Док-во:восп-ся 1 признаком сравнения
Рассм-м ряд
- ряд из абсол значений величин
Доказана сх-ть по 2-му признаку сравнения, след-но исх ряд сх-ся абсолютно.
О. Если ряд, образ из абсол значений его величин расх-ся, а исх ряд сх-ся, то он наз условно сх-ся.
Интегрирование рациональных дробей
1. Многочленом степени n наз-ся выражение вида a0+a1x+a2x2+…+anxn=Pn(x)
Рациональной дробью наз-ют отношение двух многочленов вида
При n=0 вычисление интеграла никаких трудностей не представляет
Интерес представляют рациональные дроби, у кот. n>0
При этом будем рассматривать дроби, у кот. m<n
Если m>=n, то применяют процедуру деления многочленов уголком
2. Интегрирование простейших дробей
I . x-a=t dx=dt
I I. x-a=t dx=dt
III. Интегрирование выражений, сод-х квадратный трехчлен
x+p/2=t dx=dt a2= или
IV.
V. p²/4-q>0
p²/4-q<0
Определение опред. Интеграла
Пусть зад ф у=f(x), кот непрер на некот. замкнутом инт-ле [a,b].
Разбиваем инт-л [a,b] на n частей; абсциссы точек дел-я a=x0<x1<x2<…<xi-1<xn-1<xn=b обозн x1,x2,…xn. Кажд частичный инт-л обозн ∆x1=x1-x0, ∆x2=x2-x1, ∆xi=xi-xi-1, ∆xn=xn-xn-1. В каждом частичном инт-ле ∆xi , i= 1;n выберем т. и выч-м ﻉI , y=f(x), y=f(ﻉ1) , f(ﻉ2) , … f(ﻉi) ,… f(ﻉn) Cост-м произв-е f(ﻉ1)∆x1, f(ﻉ2)∆x2 , … f(ﻉi)∆xi ,… f(ﻉn)∆xn. Кажд из этих произв-й предст собой полоску шириной ∆xi и высотой f(ﻉi).
О1. Сумма f(ﻉ1)∆x1+ f(ﻉ2)∆x2 + … f(ﻉi)∆xi +… f(ﻉn)∆xn=∑ f(ﻉ1)∆x1 наз интегр суммой ф. f(x) на инт-ле [a,b]. С геом. точки предст собой S ступенчатой фигуры.
Обозн наиб. из разностей ∆x1= xi-xi-1 через ОХ. Тогда имеет место определение 2.
О2. Сущ кон предел интегр ∑, т.е. f(ﻉ1)∆x1 и он не зав-т от СП-ба разбиения инт-ла [a,b] и выбора точек ﻉ1 на частичных инт-лах ∆xi, то этот предел наз опред интегралом ф. f(x) на [a,b] и обозн
Т. Для всякой непрер ф-и интеграл сущ.
Геом. смысл опред. интеграла.
Опред интеграл опред-т точное зн-е S криволин тр-и.