I. Элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии.

1. Определители второго и третьего порядков. Основные свойства. Минор и алгебраическое дополнение. Понятие определителя n-ого порядка и его вычисление.

Определение. Определителем 2го порядка называется число, записываемое в виде и равное:

- указывает на строку, - указывает на столбец.

Определение. Определителем 3го порядка называется число, записанное в виде и равное:

Определение. Определитель порядка выше 3го – определитель n-го порядка – считаются с применением свойств определителей.

Свойства определителей.

• Знак определителя меняется на противоположный при перестановке местами 2х параллельных рядов определителя (строк или столбцов).

• Если все элементы некоторого ряда определителя равны 0, то и сам определитель равен 0.

• Общий множитель всех элементов некоторого ряда определителя можно вынести за знак определителя.

• Если элементы 2х параллельных рядов определителя пропорциональны, то определитель равен 0.

• Определитель не изменится, если к элементам какого-то его ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на произвольное число.

Примечание. Если какой-то из рядов определителя является линейной комбинацией 2х других рядов, то определитель равен 0.

• Если элементы одного ряда определителя равны сумме 2х слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, у одного из которых ряд состоит из 1х слагаемых, а у 2го определителя – из 2х.

Пусть имеется определитель с элементами . =1,………, n; =1,………, n.

Определение. Минором элемента называется определитель, который получается из исходного вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента с коэффициентом .

= .

• Теорема Лапласа

Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения.

• Теорема. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого параллельного ряда, равна 0.

2. Матрицы, действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы.

Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Основные действия над матрицами.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Если = , то матрица называется симметрической.

Пример. - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Определение. Диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят только единицы:

= E, называется единичной матрицей.

Определение. Матрица, у которой под главной диагональю находятся только нулевые элементы, называется верхней треугольной матрицей. Если у матрицы над главной диагональю находятся только нулевые элементы, то она называется нижней треугольной матрицей.

Определение. Две матрицы называются равными, если они одной размерности и выполняется равенство:

• Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

= 

С = А + В = В + А.

• Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 (А+В) =А  В

А() = А  А

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

• Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

AB = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Пример.

.

• Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = А^Т= ;

другими словами, = .