2. Дедуктивные постулаты:

а. с конечным числом аксиом.

б. с бесконечным числом аксиом

Число типов аксиом конечно. Схема аксиом - выражение метаязыка, который соответствует бесконечному количеству аксиом одного типа.

Схемы аксиом:

А1. Закон утверждения консиквента

А2. Закон самодистрибутивности импликации.

А3. Закон введения конъюнкции.

А4. Схемы удаления конъюнкции.

А5.

А6.Схемы введения дизъюнкции

А7.

А8. Схема исключения дизъюнкции.

А9. Схемы введения отрицания.

А10.

Доказательство - непустая, конечная последовательность формул.

Каждая формула: либо аксиома, либо формула, полученная по модус поненс из предыдущих формул последовательностей. Доказательство – частный случай вывода.

Теорема - Доказательство формулы А - доказательство, последней формулой которого является формула А. Формула А называется теоремой или доказуемой формулой, если и только если существует доказательство.

Вывод из множества допущений Y - непустая конечная последовательность формул, таких, что любая формула этой последовательности либо допущение из Y, либо аксиома, либо формула полученная по модус поненс из предыдущих формул.

Понятие зависимости формулы вывода от допущения:

1. Допущение зависимо от себя самого.

2. Аксиома независима от допущений.

3. Если формула B получена по modus ponens

A)B [Г] A [D]

-----------------

B [Г] [D]

4. Если формула получена по правилу подстановки

A [Г]

--------

S A|[Г]

5.Правило подстановки нельзя применять к формуле B, которая зависит от множества допущений D по переменной, входящих хотя бы в одну формулу из D.

14. Традиционная силлогистика: язык, условия истинности категорических высказываний, понятие закона и правильного умозаключения в силлогистике

Силлогистики - логические теории, которые исследуют логические взаимосвязи между атрибутивными высказываниями (высказывания, в которых речь идет наличии или отсутствии свойств предметов).

Первая силлогистика была создана Аристотелем. Но их было несколько впоследствии. Есть разные типы силлогистик -различаются языковыми средствами (например, а некоторых единичные термины не рассматриваются; термины бывают положительные и отрицательные - в некоторых эти различия проводятся, а в некоторых нет; есть такие, в которых рассматриваются только ассерторические связки, а есть – где еще и модальные связки рассматриваются).

Традиционная силлогистика (С)(сложилась в новое время. Отлична от Аристотелевской, стала основой университетского курса логики).

В этой С исследуются взаимосвязи между ассерторическими атрибутивными высказываниями (категорические )

4 типа.

а – общеутвердительные (a)ff(i)rmo – утверждаю SaP – всякий S есть P

i - частноутвердительные SiP – некоторый S есть P

е – общеотрицательные n(e)g(o) – отрицаю SeP – ни один S не есть P

о – частноотрицательные Sop – некоторый S не есть Р

Термины 2-х типов – положительные и отрицательные

S – положительный. S¯ (S с чертой над ней)

┐- внешнее отрицание

Язык.

Нелогические термины: S, P, Q, M, S1....

Логические символы: а – всякий есть, i – некоторый есть, е – ни один не есть, о – некоторый не есть

Пропозициональные связки: ┐ (возможны &, v, >)

Термин – 1. Всякий положительный Т – термин

2. Если α – термин, то α¯ - термин

3. Ни что иное не является термином

Формула – 1. Если α и β – термины, то α a β, α i β, α е β, α о β – формулы

2. Если А – формула, то ┐А тоже формула

3. ничто иное не является формулой

Правила интерпретации нелогических символов. Нелогическим символам в качестве значений сопоставляются непустые подмножество некоторой универсальной области. Терминам сопоставляются непустые и не универсальные классы.

Придать точные значения нелогическим символам

1. Общие термины. Простым терминам в качестве значения сопоставляются непустые и неуниверсальные классы (α).

Отрицательным – в качестве значения сопоставляется дополнение к этому классу (α¯ )

2. Формулы. Значение формулы зависит от значений α и β

Отношения между двумя непустыми и неуниверсальными классами. 7 таких отношений. Круговые диаграммы. Фиксация различных отношений между двумя множествами.

1. α и β – совпадают

2. α и β - α строго включено в β

3. α и β - β строго включено в α

4. α и β – перекрещиваются

5. α и β – есть α, которые не входят в β и есть β, которые не входят в α, и нет таких объектов которые не входят ни туда ни сюда. Их объединение совпадает с универсумом.

6. α и β – нет общих элементов

7. α и β – нет общих элементов, но есть объекты, которые не входят ни в один из этих классов.

α a β – любой объект входящий в объем α входит так же и в объем β (т е истинно – 1 и 2)

α i β – существует, по крайней мере, один объект из α, который входит в β (истинно – с 1 по 5, 6 и 7 – ложны)

α е β – ни один объект из α не сходит в β (1-5 – ложь, 6 и 7 - истина)

α о β – существует, по крайней мере, один объект из α, который не входит в β (истинно – с 3 по 7, 1 и 2 – ложны)

Логический закон – формула принимает значение истина при любой интерпретации входящих в нее общих терминов, то есть на любой модельной схеме.

Примеры законов: SaS SiS SeS¯

и и и

Логические отношения:

Фундаментальные отношения (во всех теориях):

Совместимость по истинности. Формулы А1, А2, … Аn совместимы по истинности ≡ существует модельная схема, на которой каждая из этих формул принимает значение истина.

Совместимость по ложности. Формулы А1, А2, … Аn совместимы по ложности ≡ существует модельная схема, на которой каждая из этих формул принимает значение ложь.

Логическое следование. Из формул А1, А2, … Аn |= B ≡ не существует модельной схемы, на которой формулы А1, А2, … Аn принимают значение истина, а В – значение ложь. (Трактовка в утвердительном ключе. На всех модельных схемах формулы А1, А2, … Аn принимают значение истина, и В тоже принимает значение истина).

Умозаключение правильно, когда из посылок следует заключение.

2 типа умозаключений в силлогистике:

1. Непосредственные – одна посылка.

2. Опосредованные – из двух или более посылок.