Уравнение прямой линии, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению

 Пусть дана точка М₀(x₀, y₀) и некоторый вектор N (A, B). Составим уравнение прямой линии, проходящей через данную точку и перпендикулярной заданному вектору. Для этого выберем произвольную точку М(x, y) на прямой. Тогда вектор

будет перпендикулярен вектору N (A, B). Записывая признак перпендикулярности векторов в координатной форме, получим A·( x - x₀ ) + B·( y - y₀ ) = 0.  Раскрывая скобки, получим общее уравнение прямой линии на плоскости

A·x + B·y + C = 0,

где С = − А·x₀ − B·y₀. Из этого уравнения виден смысл коэффициентов А и В – они являются координатами вектора, перпендикулярного прямой (являются координатами нормального вектора).

  

Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), записывается так:

  

№13

Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

Где , взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена C.

№14

Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F(x, у, z) = 0 с тремя переменны­ми х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении поверхности называ­ются текущими координатами точек поверхности.

Уравнение сферы

Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке O₁(x₀;y₀;z₀). Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у; z) от центра O₁(x₀;y₀;z₀) равно радиусу R, т. е. O₁M= R. Но  , где  . Следовательно,

Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты лю­бой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

Если центр сферы Ο₁ совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид    .

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой   и вектором  , перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку   и составим вектор  . При любом расположении точки Μ на плоскости Q векторы   и   взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:  , т. е.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки M₁(x₁;y₁;z₁), М₂(x₂;y₂;z₂) и М₃(х₃,y₃,z₃), не лежащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку M(x;y;z) и составим век­торы  ,  , . Эти векторы лежат на плоскости Q, следовательно, они компланарны. Используем условие компланарнос­ти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем    ,  т. е.

  (12.6)

№15

Расстояние от точки до плоскости

        Предложение 11 . 1   Пусть плоскость   задана уравнением  и дана точка   . Тогда расстояние   от точки  до плоскости   определяется по формуле   ( 11 .7)        

  Доказательство.     Расстояние от точки   до плоскости    -- это, по определению, длина перпендикуляра   , опущенного из точки   на плоскость  (рис. 11.9). Расстояние от точки до плоскости.

Рис. 11 . 9

Вектор   и нормальный вектор n плоскости   параллельны, то есть угол  между ними равен 0 или   , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому   Откуда  ( 11 .8) Координаты точки   , которые нам неизвестны, обозначим  . Тогда   . Так как   , то  . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим  ( 11 .9) Точка   лежит на плоскости   , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости:  . Отсюда находим, что   . Подставив полученный результат в формулу ( 11.9 ), получим  . Так как   , то из формулы ( 11.8 ) следует формула ( 11.7 ).    

№16

Параметрические уравнения прямой

Замечая, что  ,   ,  , уравнение (12.11) можно записать в виде

Отсюда следуют равенства:

         (12.12)

Они называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой

Пусть   — направляющий вектор прямой L и   - точка, лежащая на этой прямой. Вектор  , соединяющий точку М₀ произвольной точкой   прямой L, параллелен вектору  . Поэтому координаты вектора   и вектора   пропорциональны:

        (12.13)

Уравнения (12.13) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Замечания:

1) Уравнения (12.13) можно было бы получить сразу из параметрических уравнений прямой (12.12), исключив параметр t. Из уравнений (12.12) находим

У равнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

Пусть прямая L проходит через точки   и   . В качестве направ­ляющего вектора   можно взять вектор  , т.е.     (см. рис. 76).  Следовательно,  ,  ,  Поскольку прямая проходит через точку  , то, согласно уравнениям (12.13), уравнения прямой L имеют вид

           (12.14)

Уравнения (12.14) называются уравнениями прямой, проходящей  через две данные точки.