- •I. Устойчивые системы автоматического регулирования § Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •§ Устойчивость многочленов.
- •§ Критерий Рауса-Гурвица.
- •§ Теорема Рауса-Гурвица.
- •§ Геометрический критерий устойчивости (Критерий Михайлова).
- •§ Построение областей устойчивости
- •§ Построение области устойчивости в пространстве одного комплексного параметра
- •II. Динамические характеристики линейной модели звеньев § Элементы и звенья систем автоматического регулирования.
- •§ Линеаризация нелинейных уравнений динамических звеньев.
- •Передаточные функции линейных звеньев.
- •Передаточные функции по внешнему воздействию.
- •Операционный метод и его приложения в теории автоматического регулирования.
I. Устойчивые системы автоматического регулирования § Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
z(n) + a1z(n-1) + …+ an-1z' + anz = 0 ( * )
уравнение ( * ) - однородное линейное дифференциальное уравнение
ai – постоянные числа (вещественные, комплексные)
Символическое (операционное) обозначение:
; (О.Хэвисайд)
Определение:
Пусть L(p) = а0∙рn + a1рn-1 + …+ an-1р + an
Произвольный многочлен относительно р с постоянными константами аi , z-некая функция независимой переменной t'.
L(p)z- многочлен относительно z (не умножить на z)
L(p)z = z(n) + a1z(n-1) + …+ an-1z' + anz
Если L(p) и H(p) – произвольные многочлены, то
Свойства А:
L(p)∙(z1+z2) = L(p)∙z1+ L(p)∙z2
(L(p) + H(p))∙z = L(p)∙z+ H(p)∙z
- L(p)(H(p)z) = L(p)∙Н(p)z L(с,z) = с∙L(z) , с = const
L(p)z = 0
L(p) = а0∙рn + a1рn-1 + …+ an-1р + an
Алгебраический многочлен (n-показатель степени)
Свойства В:
Пусть L(p) - произвольный многочлен относительно символа р
L(p)∙еt = L()∙еt (t - время, независимая переменная)
еt – тогда и только тогда является решением уравнения L(p)z, когда число есть корень многочлена L(p).
L(p)-характеристический многочлен
Предполагаем, что характеристическое уравнение не имеет кратных корней.
§ Устойчивость многочленов.
Пусть L(p)z = 0
Линейный дифференциальный оператор (однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами)
Многочлен называется устойчивым, если все его корни имеют отрицательные вещественные части.
Геометрически: все корни должны лежать слева от мнимой оси в плоскости корней характеристического уравнения
Плоскость корней
Пусть j = j + ij – корни многочлена L(p) = 0
j = 1,2…m
i = -мнимая единица
Найдется такое положительное число > 0
j < - ; j = 1, 2…m
Если это справедливо, то найдется такое положительное число H > 0
, t0
решение0
Если хотя бы один из корней уравнения L(p) = 0 имеет положительную вещественную часть, то еt , то система неустойчивая (t ).
Задача: найти условие, при котором система устойчива
L(p) = p2 + a∙p+b – 2- ой степени
многочлен устойчив при a > 0
b > 0
многочлен должен быть положительными
Если многочлен L(p) = а0∙р(n) + a1р(n-1) + …+ an-1р + an с действительными коэффициентами устойчив, то все его коэффициенты положительные.(Теорема А.Стодола)
(Обратная формулировка не всегда верная)
Пример: z3 + z2 + 4z + 30 = 0; корни -3, 1 ± 3i
L(p) = а0∙р(n) + a1р(n-1)+ a2р + a3 , в которым а0 >0 с действительного коэффициентами устойчив, когда а0 , а1 , а2 , а3 >0
а1∙ а2> а0∙ а3