Общая формула Стокса

Если: - ориентированная кусочно-гладкая -мерная компактная поверхность с краем ,

в задана гладкая -форма , ориентация согласована с ориентацией ,

То:

Док-во:

Проверим, что для формула действительно имеет место.

Поскольку на ( -1)-форма имеет вид (суммирование по с пропуском дифференциала ), то достаточно доказать для каждого слагаемого в отдельности. Пусть Тогда . Теперь проведем выкладку:

Здесь такой же, только -мерный промежуток в , как и в ; кроме того, мы здесь переобозначили переменные

Отображения суть параметризации соответственно верхней и нижней граней промежутка , ортогональных оси . Эти координаты на обеих гранях задают один и тот же ориентирующий грань репер отличающийся от репера пространства отсутствием вектора . Вектор на грани является внешней по отношению к нормалью, как и вектор - для грани . Репер переходит в репер пространства после перестановки соседних векторов, т.е. совпадение или несовпадение ориентации этих реперов определяется знаком числа (т.е. не менять при нечетном и менять при четном ).

Аналогичные рассуждения показывают, что для грани придется взять поправочный коэффициент к ориентации, заданной предъявленной параметризацией грани .

Итак, последние два интеграла (вместе со стоящими при них коэффициентами) можно интерпретировать соответственно как интегралы от формы по граням и промежутка .

Теперь заметим, что на каждой из оставшихся граней промежутка постоянна одна из координат Значит, соответствующий ей дифференциал тождественно равен нулю на такой грани. Таким образом, форма тождественно нулевая и интеграл от нее равен нулю по всем граням, отличным от , .

Значит найденную выше сумму интегралов по этим двум граням можно интерпретировать как интеграл от формы , взятый по всему краю промежутка , ориентированному согласованно с ориентацией самого промежутка .

Формула , а вместе с ней и формула доказаны.

Замечание:

Если поверхность является кусочно-гладкой, т.е. состоит из гладких кусков размерности не выше , причём ориентация кусков согласована, то общая их часть проходится в разных направлениях, и таким образом интеграл по общей части =0.

Лекция 18

Глава 5. Элементы векторного анализа

5.1. Дифференциальные операции векторного анализа

1. Скалярные и векторные поля.

Опр.:

1) - скалярное поле

2) - векторное поле

3) - поле форм

2. Связь между векторными полями и формами в

Утв.:

Если: - ориентированное евклидово пространство, - векторные поля,

То: полю соответствует линейная (билинейная) форма.

Док-во:

Утв.:

Задание в области ориентированного евклидова пространства дифференциальной формы эквивалентно заданию в этой области векторных полей и .

Док-во:

Замечание: в случае скалярного поля:

3. Дифференциальные операторы градиент, ротор и дифергенция.

Опр.:

Внешнему дифференцированию 0,1,2 – форм в ориентированном евклидовом пространстве отвечают операции нахождения градиента скалярного поля и нахождения ротора и дивергенции векторных полей, определённых соотношениями:

Запись в декартовых координатах

1.

2.

3.

Формула Ньютона-Лейбница

Если:

То:

Формула Стокса

Если:

- векторное поле

- замкнутый контур

То:

где

Циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность, натянутую на данный контур.

Формула Остроградского-Гаусса

Если: - компактная ориентированная область ориентированного евклидова пространства , - край ,

- гладкое поле в

То:

Поток векторного поля через границу области равен интегралу от дивергенции этого поля по самой области.

Геометрическая интерпретация ротора и дивергенции

Дивергенция:

Если: - область задания поля

- диаметр

То:

а)

б)

в)

Физический смысл: дивергенция поля - средняя плотность распределения источников в области .

Ротор:

Если: - гладкое векторное поле,

- круг с центром в точке ,

- диаметр круга,

- единичная нормаль к плоскости круга.

То:

Физический смысл: ротор определяет мгновенную ось вращения угловую скорость и направление вращения.

Лекция 19