37 Устойчивость линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
Как известно, поведение системы после снятия возмущения, т.е. свободное движение, описывается решением однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
(5.4)
и заданными начальными условиями.
С этим уравнением связан характеристический полином:
(5.5)
Без ограничения общности предположим, что корни этого полинома различны, тогда решение уравнения записывается в виде
(5.6)
Исследуем характер решения. Пусть, например, корень s1 − действительный, тогда возможны два случая:
а) s1 < 0. В этом случае составляющая имеет вид кривой, асимптотически приближающейся к оси абсцисс t → ∞ (рис. 5.3а).
Действительно, при s1 < 0 существует условие
Таким образом, если все корни − действительные отрицательные, то и все слагаемые будут стремиться к нулю, а, следовательно, и их сумма.
б) Пусть один из корней действителен и положителен, s1 > 0, тогда абсолютная величина слагаемого будет безгранично возрастать при t → ∞ (рис. 5.3б), т.е. → ∞ при t → ∞. В этом случае у → ∞ даже когда все остальные слагаемые решения стремятся к нулю при t → ∞.
в) Пусть уравнение (5.5) имеет комплексно-сопряженные корни. Здесь также возможны два случая. Первый случай, если причем α < 0, тогда решение представляет собой затухающие колебания с частотой ω (рис. 5.3в), так как eατ→0 при t→∞, и, следовательно, все выражение также стремится к нулю при возрастании t.
Е сли комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную действительную часть, то соответствующие члены решения стремятся к нулю при t → ∞.
Рис. 5.4 Изображение составляющих решения дифференциального уравнения:
а − корни действительные отрицательные; б − корни действительные положительные; в − корни комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью; г − корни комплексно-сопряженные с положительной действительной частью; д − корни мнимые; е − нулевой корень
г) Пусть α > 0. В этом случае решением являются колебания с нарастающей амплитудой (рис. 5.3г), так как eατ→0 при t→∞ следовательно,
д) Допустим теперь, что уравнение (5.5) имеет мнимые корни, т.е. тогда решение будетиметь вид: т.е. незатухающие колебания (рис. 5.3д).
е) Пусть уравнение имеет нулевой корень s1 = 0, в этом случае y1 = C, т.е. решение представляет собой константу.
Составляющую решения yсв(t) дает общее решение уравнения без правой части, которую часто называют переходной составляющей решения. Устойчивая система характеризуется тем, что yсв(t) → 0 при t → ∞. Если же это условие не соблюдается, то система неустойчива, если yсв(t) = сonst, то система нейтральна, а если yсв(t) представляет собой незатухающие колебания, то система находится на границе устойчивости. Таким образом, система устойчива тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть. Это правило получило название − признак устойчивости.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. Геометрическая интерпретация этого признака показана на рис. 5.5.