19.(Только практика) Алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений.

1. Если , то система несовместна.

2. Если , то система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из коэффициентов которых состоит базисный минор. Остальные уравнения отбросить. Неизвестные коэффициенты, которые входят в базисный минор, называют базисными и оставляют слева, а остальные (n-r) неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.

3. Найти выражение базисных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольное значение, получим соответствующие значения базисных неизвестных, найдя таким образом частное решение исходной системы.

Замечание: число базисных переменных совместной системы равно рангу этой матрицы. У несовместной системы базисных неизвестных нет. Число свободных переменных (n-r), где n – число неизвестных, а r – ранг матрицы системы.

20.Определение однородной системы уравнений. Сформулировать теорему об условии существования нетривиального решения. Что называется фундаментальной системой решения?

Система m линейных уравнений с n неизвестными называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю, и имеет вид:

Однородная система является частным случаем системы общего вида. Она всегда совместна, так как , и потому что как минимум имеет нулевое решение . Нулевое решение называют тривиальным.

Теорема, об условии существования нетривиального решения. Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа ее неизвестных.

Следствие:

1. Если число уравнений однородной системы меньше числа ее неизвестных, то это система имеет ненулевое решение

2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Решение однородной системы обладает следующими свойствами:

1. Если матрица столбец является однородной системой, то матрица-столбец kC тоже является решением.

2. Если решением системы является также матрица-столбец D, то сумма С+D является решением системы.

3. Отсюда следует, что любая линейная комбинация решений однородной системы также является решением этой системы.

Матрицы-столбцы называют линейно зависимыми, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. В противном случае эти столбцы называют линейно независимыми. Из множества решений системы можно выбрать максимальное число линейно независимых столбцов решений, которые называют фундаментальной системой решений.

Теорема 2. Если ранг r системы однородных уравнений меньше числа неизвестных n, то всякая ее ФСР состоит из (n-r) решений.

Способы нахождения ФСР:

1. Базисные неизвестные системы выразить через свободные переменные.

2. Последовательно присвоить каждой свободной переменной единицу, считая остальные нулями.

Такая ФСР считается нормированной и является одним из наборов ФСР.