- •1. Основные понятия теории вероятностей
- •2. Кл. Опр. Вероятности.
- •3. Основы комбинаторики.
- •5. Формула полной вероятности
- •6. Повторение опытов
- •7. Случайные величины и законы их распределения
- •8. Биномиальное распределение.
- •9. Математическое ожидание случайной величины.
- •10. Дисперсия
- •12. Функция распределения случайной величины.
- •13. Плотность распр. Вер-ти непрерывной случ. Величины.
- •14. Числ. Хар-ки непр. Случ. Величин.
- •15. Закон равномерной плотности
- •16. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
- •17. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •18. Мат. Статистика.
- •19. Эмпирическая ф-я распределения.
- •21. Расчёт доверительного интервала для оценки мат. Ожид. И дисп.
8. Биномиальное распределение.
Биномиальным называют законы распределения случайной величины Х числа появления некоторого события в n опытах если вероятность р появления события в каждом опыте постоянна
Сумма вероятностей представляют собой бином Ньютона
Для определения числовых характеристик в биномиальное распределение подставить вероятность которая определяется по формуле Бернули.
При биномиальном распределении дисперсия равна мат. ожиданию умноженному на вероятность появления события в отдельном опыте. Распределение Пуассона. Когда требуется спрогнозировать ожидаемую очередь и разумно сбалансировать число и производительность точек обслуживания и время ожидания в очереди. Пуассоновским называют закон распределения дискретной случайной величины Х числа появления некоторого события в n-независимых опытах если вероятность того, что событие появится ровно m раз определяется по формуле.
a=np
n-число проведенных опытов; р-вероятность появления события в каждом опыте. В теории массового обслуживания параметр пуассоновского распределения определяется по формуле а=λt , где λ - интенсивность потока сообщений t-время. Необходимо отметить, что пуассоновское распределение является предельным случаем биномиального, когда испытаний стремится к бесконечности, а вероятность появления события в каждом опыте стремится к 0.
Пуассоновское распределение является единичным распределением для которого такие характеристики как мат. Ожидание и дисперсия совпадают и они равны параметру этого закона распределения а.
9. Математическое ожидание случайной величины.
Математическим ожиданием случайной величины х (M[x])называется средне взвешенно значение случайной величины причем в качестве весов выступают вероятности появления тех или иных значений. Для дискретной случайной величины
Для непрерывной
С механической точки зрения мат. Ожидание это абсцисса центра тяжести системы точек расположенных по одноименной оси. Размерность мат. Ожидания совпадает с размерностью самой случайной величины. Математическое ожидание случайной величины всегда больше наименьшего значения и меньше наибольшего. M(X)=np, n – число независимых испытаний, р – вероятность появл. события.
10. Дисперсия
Дисперсия (D[x]) характеризует рассеивание или разряженность случайной величины около ее математического ожидания.
Для дискретных
Для непрерывных
Дисперсия случайной величины всегда величина положительная. Размерность дисперсии равна квадрату разности случайной величины.
По опр.: D(X)=M(X2)-(M(X))2. Дисперсия числа появл. события в n-независимых испытаниях: D(X)=npq. Среднеквадратическое (стандартное) отклонение.
11. Невозможно предсказать какое именно возможное значение примет случ. величина в рез-те испытаний. При достаточно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случ. величин, почти утрачив. случ. характер и становится закономерным. Эти общие условия указыв. в теоремах, кот. носят название закона больших чисел (теоремы Чебышева и Бернулли). Нер-во Чебышева: P(|x-M(x)|<)>=1-D(x)/2. Вторая форма: P(|x-M(x)|>=)=<1-D(x)/2.
Теорема Бернулли:
На практике: