10. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины и его виды.

опр: Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение заранее неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

опр: Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется величина, которая принимает лишь отдельные изолированные возможные значения. Число таких значений может быть как конечным, так и бесконечным. X, Y, Z – обозначения самих случайных величин; x, y, z- возможные значения случайных величин.

опр: непрерывной случайной величиной (НСВ) – называется величина, все возможные значения которой находятся в некотром промежутке, число таких значений бесконечно.

ДСВ определяются не только их возможными значениями, но и вероятностями, с которыми эти значения появляются.

опр: Законом распределения ДСВ называется совокупность соответствий между ее возможными значениями и соответствующими им вероятностями. Чаще всего закон распределения задается таблично.

x	x1	x2	…	Xn
p	p1	p2	…	Pn

-значение случайной величины

-соответствующие им вероятности

В некоторых случаях закон распределения изображается графически (в этом случае его называют многоугольником распределения):

Так как события x=x₁, x=x₂, … , x=x_n образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна 1, т.е. p₁+p₂+…+p_n=1.

Виды распределений дискретной случайной величины:

1.Биномиальное:

Пусть событие А в n независимых испытаниях появляется с одной и той же вероятностью (0<p<1) и не появляется с вероятностью q=1-p. Составим закон распределения случайной величины Х – числа появлений события А в n испытаниях.

Х{x₁=0, x₂=1, … ,x_n+1=n}

x	0	1	2	…	k	…	n
p	pn	npn-1q	n(n-1) pn-2q2	…	*pkqn-k	…	qn

Каждое из этих значений появляется с вероятностью, которое определяется по формуле Бернулли: .

Данная формула и определяет биномиальное распределение. Такое название распределение получило потому, что правая часть этой формулы представляет собой член разложения бинома Ньютона.

2.Распределение Пуассона:

Пусть событие А в n независимых испытаниях появляется с одной и той же вероятностью (0<p<1) ровно k раз. Х – число появлений события А в n испытаниях. В обычных случаях используют формулу Бернулли. Если n велико, то используем формулу Лапласа. Если же при этом р мало (p<=0,1), то используют формулу Пуассона для определения вероятности того, что событие А в n испытаниях появится ровно k раз. Следует заметить, что n*p=const, n*p=; Следовательно, Pn(k)~(^ke^-)/k! – определяет распределение Пуассона.

3.Геометрическое распределение.

Пусть в n независимых испытаниях событие А появляется с одной и той же вероятностью p (0<p<1). Испытания проводятся до тех пор, пока событие А не появитя первый раз. Обозначим через число i – число испытаний, которые нужно произвести до того, как произойдет событие А. (i – натур. числа). х₁=1, х₂=2, х₃=3, …

Пусть событие А не появилось в (к-1) испытаниях и появилось в к-ом испытании, тогда по теореме умножения для независимых событий вероятность того, что случайная величина равная k равна: P(X=k)=q^k-1p. Если k придавать различные значения (k=1,2, …), то p, qp, q²p, … , q^k-1p; Образуется геометрическая прогрессия с первым членом p и знаменателем q (0<q<1). Отсюда следует название данного вида распределения.