- •Сервер Методического Обеспечения вгуэс http://abc.Vvsu.Ru
- •Введение
- •Вводная глава Метод математической индукции (мми) §1. Формулировки мми. Доказательство равенств
- •Теорема 1 (стандартный мми)
- •Пример 1
- •Доказательство
- •Глава I Алгебра высказываний §1. Основные понятия. Логические операции
- •Примеры
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Теорема 3
- •Доказательство
- •Определение 4
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Решение
- •Определение 3
- •Теорема 4
- •Доказательство
- •§6. Приложение алгебры высказываний к исследованию электрических двухполюсников
- •Определение 3
- •Теорема 6
- •Доказательство
- •§7. Отношение порядка Определение 1
- •Примеры
- •Определение 2
- •Теорема 3
- •Доказательство
- •Теорема 4
- •Доказательство
- •§9. Экстремальные элементы в частично упорядоченных множествах и подмножествах Определение 1
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Определение 13
- •Определение 14
- •Теорема 15
- •Доказательство
- •Примеры обратных отображений
- •Теорема 16
- •Доказательство
- •Определение 17
- •Определение 18
- •Литература
Введение
Предлагаемое учебное пособие представляет собой первую часть курса лекций по дискретной математике. Кроме этой части предполагается издание двух частей теоретического материала. Вторая часть будет посвящена дискретному анализу, логике предикатов и теории кодирования и криптографии, в частности, кодированию экономической информации. Третья часть будет посвящена теории графов и ее приложению в экономике и управлении, в частности, сетевому планированию и управлению дискретными системами. Параллельно изданию теоретического материала планируется и разработка и издание сборников задач, в частности, заданий для контрольных работ и индивидуальных домашних заданий.
Предполагаемые пособие и сборник задач создаются на базе курсов лекций по логике, теории графов и дискретной математике, которые читались ряд лет студентам разных специальностей и факультетов в Дальневосточном государственном техническом университете, Дальневосточном государственном университете, Владивостокском университете экономики и сервиса.
Первая, предлагаемая, часть посвящена по сути дела построению современного математического языка – математической логике и теории множеств. Более подробное внимание уделяется конечным объектам – методу математической индукции, комбинаторике. Здесь также можно познакомиться с алгеброй высказываний, общей теорией множеств и предикатов, с теорией бесконечных множеств. Пособие может оказаться полезным всем, в том числе и студентам, кто желает или кому необходимо познакомиться со всем курсом дискретной математики или с некоторыми ее приложениями.
Вводная глава Метод математической индукции (мми) §1. Формулировки мми. Доказательство равенств
Дискретная математика – это цикл математических наук, изу-чающих свойства конечных множеств. В настоящее время эти науки бурно развиваются, что определяется тремя очень важными факторами:
1) развитием компьютерной техники и компьютерных наук, которые базируются, а по существу являются продолжением дискретной математики;
2) запросами различных прикладных наук – теории управления, экономики, оптимизации и многих, многих других;
3) логикой внутреннего развития этих наук: появлением новых разделов, глубоких интересных проблем, развитием мощных методов их решения.
Все это и предопределило тот факт, что различные разделы дискретной математики все настойчивее внедряются не только в университеты, но и в технические и экономические и даже в гуманитарные вузы.
ММИ лежит в основе доказательства огромного числа теорем в различных разделах дискретной математики. Подчеркивая это обстоятельство, мы и начнем изложение курса с этого метода. Приведем несколько формулировок ММИ. Все они равнозначны, но доказательство этого факта из-за его сложности мы опустим, чтобы не отпугивать читателя сразу же трудностями технического порядка.
Буквой в дальнейшем мы будем обозначать множество натуральных чисел:
– расширенное множество натуральных чисел, то есть
Пусть обозначает некоторое свойство натуральных чисел.
Теорема 1 (стандартный мми)
Пусть свойство верно при и пусть из истинности при следует его истинность при . Тогда свойство верно для любого .