- •1. Матрицы. Основные определения.
- •2. Линейные операции над матрицами и их свойства.
- •3. Умножение матриц. Свойства.
- •4. Транспонирование матриц. Свойства.
- •5. Перестановки.
- •6. Понятие определителя.
- •7. Частные случаи определителей.
- •10. Теоремы о разложениях определителя
- •8. Свойства определителей.
- •9. Миноры и алгебраические дополнения.
- •11. Обратная матрица
- •12. Ранг матрицы.
- •13. Линейные системы уравнений. Основные определения. Матричная запись.
- •14. Формулы Крамера
- •15. Метод Гаусса
- •16. Решение произвольных систем уравнений
- •17. Однородные системы уравнений.
- •19. Линейные операции над векторами
- •20. Линейнонезависимые системы векторов.
- •22. Декартова прямоугольная система координат.
- •21. Понятие базиса. Координаты.
- •23. Скалярное произведение двух векторов. Его физический смысл. Геометрические и алгебраические свойства.
- •24. Выражение для скалярного произведения в декартовых координатах.
- •25. Векторное произведение. Его свойства.
- •26. Выражение для векторного произведения в декартовых координатах.
- •27. Смешанное произведение трёх векторов. Его свойства и выражение в декартовых координатах.
- •28. Общее уравнение плоскости и прямой на плоскости.
- •29. Уравнение плоскости и прямой на плоскости в отрезках.
- •30. Нормальное уравнение плоскости и прямой на плоскости.
- •31. Уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору.
- •32. Канонические уравнения прямой.
- •33. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.
- •34. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.
- •35. Эллипс.
- •36. Гипербола
- •38. Действительные числа, переменные велечины
- •37. Поверхности второго порядка.
- •39. Предел переменной величины.
- •41. Бесконечно малые и бесконечно большие.Теоремы.
- •42.Основные теоремы о пределах
- •43. Первый замечательный предел
- •44. Второй замечательный предел
- •45. Непрерывность ф-ции
- •46. Классификация точек разрыв
- •47. Непрерывность функции на интервале и на отрезке
- •48. Некот свойсва непрерывной ф-ции
- •53. Производная сложной ф-ции.
- •49. Сравнение бесконечно малых
- •50.Производная.
- •51. Геометрический смысл производной
- •52. Основные правила дифференцирования.
- •54. Обратная функция и её дифференцирование.
- •55.Обратные тригонометрические функции и их производные
- •57. Гиперболические ф-ции
- •56. Производные функций от lnx и ex
28. Общее уравнение плоскости и прямой на плоскости.
Положение плоскости в пространстве полностью определяется некоторой точкой, принадлежащей плоскости, и направлением вектора, перпендикулярного плоскости.
М0 – зафиксированная точка плоскости, - вектор, -ный плоскости.
Пусть М – произвольная точка плоскости, тогда вектор , т. е. скалярное произведение ( , )=0
Проведём в М0 и М из начала координат , тогда = . (1)
Уравнение плоскости, заданное принадлежащей ей точкой, определяемой радиус-вектором и вектором , -ным плоскости. - радиус-вектор, проведённый в произвольную точку плоскости – уравнение в векторной форме.
Пусть М0(x0,y0,z0), M(x,y,z), тогда вектор , . = r-r0={x-x0,y-y0,z-z0}
Пусть вектор , тогда уравненіе (1) можно переписать так:
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. (2)
Это уравнение плоскости, проходящей через точку (x0,y0,z0) -но вектору {A,B,C} в координатной плоскости. Аналогично можно получить уравнение прямой на плоскости, заданной точкой М0(x0,y0) и вектором N{A,B}.
Рассуждая аналогично, можно сказать, что радиус-вектор, проведённый из начала координат в произвольную точку прямой будет удовлетворять уравнению прямой на плоскости в векторной форме.
Рассуждая аналогично, можно получить: A(x-x0)+B(y-y0)=0. (4)
Преобразуем уравнение (2)
Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)=0
Ax+By+Cz+D=0 (5)
D= -(Ax0+By0+Cz0)
Уравнение D – это общее уравнение.
Можно показать, что уравнение любой плоскости в пространстве может быть представлено в виде (5).
Любое уравнение вида (5) – линейное относительно координат x y z, определяет некоторую плоскость в пространстве; преобразуя аналогично уравнение (4) получим Ах+Ву+С=0. (6)
С= -(Ax0+By0)
Уравнение (6) – общее уравнение прямой на плоскости.
Можно показать, что уравнение любой прямой может быть представлено в виде (6) и что любое уравнение вида (6) линейное относительно координат х у и определяет некоторую прямую на плоскости.
29. Уравнение плоскости и прямой на плоскости в отрезках.
Пусть некоторая плоскость не II ни одной из плоскостей декартовой системы координат
Такая плоскость отсекает на координатных осях отрезки, которые обозначим a, b и c. А(а,0,0), В(0,b,0), C(0,0,c).
Уравнение этой плоскости может быть представлено в виде Ax+By+Cz+D=0. Потребуем, чтобы А(а,0,0) удовлетворяло этому уравнению. Подставляем координаты этой точки в уравнение (1) вместо x y z:
A∙а+B∙0+C∙0+D=0
А= -D/а
Аналогично из требования, чтобы В(0,b,0) удовлетворяла уравнению (1) имеем: A∙0+B∙b+C∙0+D=0, В=-D/ b.
Точно так же подставляем в уравнение (1) координаты C(0,0,c). Находим: С= -D/с.
Подставляя найденные значения коэффициентов А, В, С в уравнение (1), имеем . Умножим обе части уравнения на ; получаем: - уравнение плоскости в отрезках.
Аналогично можно найти уравнение прямой на плоскости, отсекающей на координатных осях Ох и Оу соответственно отрезки a и b.
Потребуем, чтобы точки пересечения с осями удовлетворяли условию Ax+By+C=0
Преобразуем уравнение (2)