Примеры для самостоятельного решения.
64. Найти
S=2A+3В,
если
.
65. Найти
C=A-5B,
если
.
66. Найти матрицу C=3A-2BT, если
.
67. Найти матрицу A+2T=3B, если
.
________________________________________________________________________________
2.2. Умножение матриц.
Произведение матрицы A на матрицу B возможно, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
.
Произведение матрицы A на матрицу B определяется следующим образом: для того чтобы получить элемент cij- матрицы произведения C=A·B, надо элементы i-ой строки матрицы A умножить на соответствующие элементы j- го столбца матрицы B и результаты сложить, то есть
.
Произведение C=A·B содержит столько строк сколько их имеет матрица А и содержит столько столбцов сколько их есть в матрице В.
Если число столбцов матрицы А не равно числу строк матрицы В, то умножать матрицу А на матрицу В нельзя.
Свойства умножения матриц:
1) (A·B)·C = A·(B·C); 2) A·(λB) = (λA)·B=λ·(AB);
3) (A+B)·C = AC+BC; 4) C·(A+B) = CA+CB;
5) A·E
= E·A,
где
-
единичная матрица.
6) A·0 =0·A = 0, где-нулевая матрица.
Заметим, что в общем случае AB≠BA, то есть умножение матриц не обладает перестановочным свойством. Матрицы, для которых выполняется равенство AB=BA, называются перестановочными.
Пример 68. Пусть
.
Найти произведения AB
и BA.
Решение. Произведение AB существует так как число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Вычислим произведение AB: Сразу заметим, что произведение AB будет содержать одну строку и один столбец.
.
Произведение BA также существует, так как число столбцов матрицы B равно числу строк матрицы A. Произведение BA будет содержать две строки и два столбца.
.
Очевидно, что AB≠BA.
Пример 69. Найти произведения AB и BA матриц
.
Решение. Пусть C=AB. Чтобы найти c11, надо умножить первую строку матрицы A на первый столбец B, элемент c12 получается умножением первой строки A на второй столбец B, элемент c21 получается умножением второй строки A на первый столбец B и т.д.
.
Аналогично
.
В данном случае AB≠BA.
Пример 70. Найти произведения AB данных матриц третьего порядка
.
Решение.
Примеры для самостоятельного решения.
Умножить матрицы
71.
, 72.
,
73.
, 74.
,
75.
, 76.
,
77.
, 78.
.
79. Показать, что матрицы перестановочны
.
80. Показать, что матрицы A и B перестановочны, если
.
81. Найти матрицу C=AB-BA, если
.
________________________________________________________________________________
2.3 Обратная матрица.
Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель, составленный из всех элементов матрицы, отличен от нуля; если определитель равен нулю, то матрицу называют вырожденной. Обратная матрица существует только для квадратной невырожденной матрицы. Вырожденная матрица не имеет обратной.
Матрица A-1 называется обратной для матрицы A, если A·A-1= A-1·A=E (E-единичная матрица).
Обратная матрица вычисляется по формуле
,
где Aij-алгебраические дополнения элементов aij в определителе |A|. Обратите внимание, что алгебраические дополнения для строк определителя |A| записываются в столбцы обратной матрицы. Так, например, в первом столбце этой матрицы стоят алгебраические дополнения первой строки определителя |A|.
С помощью обратной матрицы решаются матричные уравнения:
а) A·X =B; б) X·A =B.
Умножая первое уравнение на A-1слева, а второе – на A-1 справа, получим
A-1·A·X= A-1·B и X·A·A-1=B·A-1
Учитывая, что A-1·A= A·A-1=E и E·X = X·E,решение запишем в виде
а) X = A-1·B; б) X =B·A-1.
________________________________________________________________________________
Пример 82. Найти обратную матрицу A-1 для матрицы
и сделать проверку.
Решение. Покажем сначала, что данная матрица невырожденная, тогда она имеет обратную матрицу. Действительно,
Вычислим алгебраические дополнения определителя |A|: A11=2, A12= -4, A21= -1, A22=3.
Матрица A-1 обратная к A имеет вид
.
Проверим правильность полученного результата:
Пример 83. Найти матрицу, обратную для матрицы
и сделать проверку.
Решение. Так как |A|= -1≠0, то данная матрица невырожденная. Вычислим алгебраические дополнения
Аналогично находим A21= 4, A22= 5, A23= -6, A31= 3, A32=3, A33= -4.
.
Вычислим произведение
,
что показывает правильность полученного результата.
Пример 84. Решить матричное уравнение
которое можно записать A·X
=B.
Решение. Матрица X = A-1·B. Так как
,
то
,
поэтому
