Передаточные функции

Передаточной функцией элемента или системы называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях.

Если дифференциальное уравнение элемента или систе­мы записано в операторной форме (3 или 4), то передаточная функция равна отношению выходного оператора к входному, выражение (7):

(7)

где p ==  + i — комплексная переменная в преобразовании Лап­ласа.

Отсюда следует, что по известной передаточной функции легко можно найти дифференциальное уравнение элемента или си­стемы. Для этого необходимо передаточную функцию представить дробно-рациональной функцией аргумента р и соответственно чи­слитель этой функции принять за выходной, а знаменатель за вход­ной операторы дифференциального уравнения.

Передаточную функцию (7) можно представить и в виде

(8)

q₁, q₂, q_m, - корни уравнения п(р) = 0 и называются нулями передаточной функции; p₁, p₂, p_n, - корни уравнения т(р) = 0 и называются полю­сами передаточной функции.

Частотные функции и характеристики

Если в выражении передаточной функции (7) цепи или системы заменить оператор р на комплексный множитель j, то полученная таким образом комплексная функция W(j) называется частотной функцией или комплексным коэффициентом усиления (9):

где j =-1, [сек^-1] - круговая частота в радианах в секунду.

Частотная функция, представленная на комплексной плоскости при изменении -    , называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой.

Частотная функция (9), как всякая комплексная функция, может быть представлена в следующем виде:

(10)

Здесь:

Р() - вещественная часть частотной функции и называется вещественной частотной характеристикой;

Q() - мнимая часть частотной функции и называется мнимой частотной характеристикой;

А () - модуль частотной функции и называется амплитудной частотной характеристикой;

() - аргумент частотной функции и называется фазовой ча­стотной характеристикой.

Частотные характеристики связаны между собой следующими формулами:

(11)

Дифференциальные уравнения, передаточные и частотные функции, частотные характеристики выражают различную форму изображения динами­ческих свойств характеристик элементов, цепи. Они связаны между собой, и знание одной формы изображения динамических характеристик (свойств) позво­ляет определить остальные расчетным путем.

Амплитудная и фазовая частотные характеристики имеют опре­деленный физический смысл и могут быть получены эксперименталь­но для элемента или системы.

Входные и передаточные функции цепей синусоидального тока

Применение комплексного метода сводит соотношения между мгновенными то­ками i(t) и напряжениями u(t) представляемые дифференциальными уравнения­ми, к алгебраическим соотношениям между их комплексными изображениями Í(j) и Ú(j). Поэтому составленные для цепи уравнения в комплексной форме позволяют алгебраически выразить выходную величину F₂ (комплексный ток или напряжение) через входную величину F₁ (также напряжение или ток), по­даваемые к входным зажимам:

где W(j)= K(j) – коэффициент передачи передаточной функции цепи, являющийся рациональной дробью комплексного ар­гумента j. Коэффициент K(j) выра­жается через параметры полиномов числителя и знаменателя цепи.

При заданном значении частоты  коэффициент передачи представляется комплексным числом

(12)

Его модуль К() - выражает отношение действующих значений (или амплитуд) выходного и входного сигналов, а аргумент () - определяет фазовый сдвиг меж­ду ними:

где ₂ и ₁ - начальные фазы выходного и входного сигналов.

Размерность передаточной функции W(j) определяется размерностями связываемых ею величин цепи.

Если входная и выходная величины — напряжения или ток (рис.3, а и б), то коэффициент передачи передаточной функции К(j) - безразмерная величина. Если выходная величина - напря­жение, а входная — ток (рис.3,в), то говорят о передаточном сопротивлении Z₁₂(j), и если связь между входным напряжением и выходным то­ком соотношение определяет передаточная проводимость Y₁₂(j) (рис. 3,г).

Входные величины двухполюсника (рис.4):

комплексное сопротивление

Z(j) = Ú/ Í =Z() е^j() =R() + jX()

и комплексная проводимость

Y(j) = Í /Ú = 1/aZ(j)

также выражаются рациональными дробями аргумента j.

Модулем комплексного входного сопротивления явля­ется полное сопротивление цепи Z(), его аргументом () — фазовый сдвиг между напряжением и током. Вещественная R() часть комплексного сопротивления представляет активное, а мнимую часть X() – реактивное сопротивление.

Для комплексной проводимости аналогично имеем:

Y(j) = у() е ^-j() =G() + jB(), где у(), G() и B() – полная, активная и реактивная проводимости цепи.