5. Метод узловых потенциалов

Теоретическая база метода узловых потенциалов – 1-ый закон Кирхгофа в сочетании с потенциальными уравнениями ветвей. В этом методе потенциал одного из узлов схемы при­нимают равным нулю, а потенциалы остальных (n1) узлов считают неизвестными, подле­жащими определению. Общее число неиз­вестных составляет (n1).

Рассмотрим обобщенную ветвь некоторой сложной схемы (рис. 18).

Свяжем потенциалы концов ветви (узлов) между собой через падения напряжений на отдельных участках:

или

Уравнение, связывающее потенциалы конечных точек ветви через паде­ния напряже­ний на ее отдельных участках, называется потенциальным уравне­нием ветви. Из потенциального уравнения ветви могут быть определены ток ветви и напряжение на резисторе:

, .

Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной сложной схеме рис. 19. Пара­метры отдельных элементов схемы заданы.

Принимаем потенциал узла 0 равным нулю (V₀ = 0), а потенциалы узлов 1, 2 и 3 (V₁, V₂ и V₃) будем считать неизвестными, подлежащими определению.

Зададимся положительными направлениями токов в ветвях схемы I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, I₆. Со­ставим потенциальные уравнения ветвей и выразим из них токи вет­вей:

Рис. 19

Составим (n1) уравнений по 1-му закону Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3:

I₁ + I₂ – I₄ + J₂ = 0

I₁ + I₃  I₅ + J₃ = 0

I₂ – I₃ + I₆ – J₂ – J₃ = 0

Подставим в уравнения 1-го закона Кирхгофа значения токов, выражен­ные ранее из потенциальных уравнений. После приведения коэффициентов по­лучим систему узловых уравнений:

В обобщенной форме система узловых уравнений имеет вид:

V₁ G₁₁  V₂ G₁₂  V₃ G₁₃ ... V_n G_1n = J₁₁

V₁ G₂₁ + V₂ G₂₂  V₂ G₂₃ ... V_n G_2n = J₂₂

V₁ G₃₁  V₂ G₃₂ + V₃ G₃₃ ... V_n G_3n = J₃₃

……........................................…...............

V₁ G_n1  V₂ G_n2 V₃ G_n3...+ V_n G_nn = J_nn

Здесь введены следующие обозначения:

, , и т. д.

– собственные прово­димости узлов, равные суммам проводимостей всех ветвей, сходящихся в дан­ном узле, всегда положи­тельны;

, , и т. д.

– взаимные проводимости между смежными узлами (1 и 2, m и n), равные сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы, всегда отрицательны;

, , и т. д.

– узловые токи уз­лов, равные алгебраической сумме слагаемых E/R и J от всех ветвей, сходя­щихся в узле (знак ”+”, если источник действует к узлу, и знак “” , если источ­ник действует от узла).

Система узловых уравнений в матричной форме:

или сокращенно ,

где [Gu]  матрица узловых проводимостей, [Vu] матрица узловых по­тенциа­лов, [Ju]  матрица узловых токов.

Последовательность (алгоритм) расчета.

1) Принимают потенциал одного из узлов схемы равным нулю, а потен­циалы осталь­ных (n1) узла считают неизвестными, подлежащими определе­нию.

2) Руководствуясь обобщенной формой, составляют (n−1) уравнение для узлов с неиз­вестными потенциалами.

3) Определяются коэффициенты узловых уравнений и составляются их матрицы.

4) Система узловых уравнений решается на ЭВМ по стандартной про­грамме для ре­шения систем линейных алгебраических уравнений с веществен­ными коэффициентами. В MathCAD для этой цели могут быть применены сле­дующие программы: 1) Vu = lsolve(Gu, Ju), 2) Vu = Gu ^-1∙Ju. В результате реше­ния системы уравнений определяются неизвестные по­тенциалы узлов V₁, V₂, V₃,…

5) Выбираются положительные направления токов в ветвях исходной схемы I₁, I₂ , I₃, I₄, I₅, I₆. Токи ветвей определяются из потенциальных уравнений ветвей через потенциалы узлов V₁, V₂, V₃,…

6) При необходимости определяются напряжения на отдельных элемен­тах (U_k = I_kR_k), мощности источников энергии (PE_k = E_kI_k, P_Jk = U_k J_k) и приемни­ков энергии (P_k = I_k² R_k).

Примечание: пример расчета сложной электрической цепи методом уз­ловых потенциалов см. в Л.17 (задача 2в).