32. Классификация изолированных особых точек.

Пусть z₀ особая точка(ОТ) ф-ии f(x),т.е.f(z) не является аналитичной в этой точке,в частн.м.б. не определена в ней. Если найдется такая прокол. окрест. т.z₀,т.е.мн-во 0<|z-z₀|<R,в кот.ф-ия f(z) аналит.,то z₀ наз.изолир.особой точкой ф-ии f(z).Данное определение сохраняется и в случае z₀=∞,если под прокол.окр-тью т. z₀=∞ понимать мн-во |z|>R,-внешность круга с центром в нач.коорд. Др.словами, особая т.z₀ наз.изолиров., если найдется такая окрестн.этой точки,в кот.нет других особых точек,отличных от z₀.В дальнейшем мы рассм-ем ОТ однозначного хар-ра, т.е. f(z) предполагается однозначной.

В зависимости от поведения ф-ии f(z) при z→z₀ различают 3 типа ОТ.Изолиров.ОТ z₀ ф-ии f(z) наз:

1)Устранимой ОТ, сущ.

2)Полюсом,если

3)Существенно ОТ,если f(z) не имеет ни конечного,ни бесконеч.предела при z→z₀.

Пусть z₀ конеч.ОТ ф-ии f(z),тогда f(z) аналитична в непрокол. окрест. 0<|z-z₀|<R т.z₀.Эту окрест.можно рассматривать как кольцо с внутр.радиусом r=0.Ф-ию f(z) можно разложить в ряд Лорана .

Теор.1:Изолиров.ОТ z₀ ф-ии f(z) явл.устранимойЛорановское разложение в прокол.окрестн.этой точки имеет вид: (1) ,т.е. состоит только из правильной части,а все коэф.глав.части =0.

Док-во: 1)Пусть z₀ устранимая ОТ.Д-ем,что Лоран.разложение ф-ии f(z) имеет вид(1).Т.к. ОТ z₀ устранимая,то сущ. ,следовательно ф-ия f(z) ограничена в некот.прокол.окрест.0<|z-z₀|<R₁ т.z₀,т.е.|f(z)|≤ M для любой z из этой окрест.Возьмем любое ρ,0<ρ< R₁ и ,

n=0,±1,±2,…

Для коэф.главной части разложения n=-1,-2,… имеем ρ^-n→0 при ρ→0;т.к.значение ρ м.б.выбрано сколь угодно малым,то и Mρ^-n м.б.сколь угодно малым.Поскольку |C_n|≤Mρ^-n и C_n не зависит от ρ,то C_n=0 при n=-1,-2,…,что и треб.д-ть.

2)Предположим,что Лоран.разложение имеет вид (1).Ряд(1) явл.степенным рядом и,следов.,не только в проколотой,но и во все окрестности |z-z₀|<R включая и т.z₀.Его сумма S(z) аналитична при |z|<R и S(z)=f(z) при 0<|z-z₀|<R,поэтому сущ. ,где A=S(z₀).Следов.,ОТ z₀ – устранимая.□

Теор.2:Изолированная ОТ z₀ ф-ии f(z) явл.полюсомглав.часть разлож.Лорана с центром z₀ имеет лишь конеч.число отлич.от 0 коэф. C_n: (2),N>0.

Кратность(порядок)нуля ф-ии наз.порядком полюса z₀ ф-ии f(z),то ,где φ(z₀)≠0 и разложение ф-ии f(z) имеет вид(2),где C_-N≠0.Обратно,если f(z) раскладыв.в ряд(2) и C_-N≠0,то ,где ,т.е. N порядок полюса ф-ии f(z).

Т.о.порядок полюса z₀ ф-ии f(z) равен номеру старшего ненул.коэф.главной части Лор.разлож.в прокол.окр-сти т.z₀.

След.1:Точка z₀ явл.полюсом порядка Nf(z) представима в виде ,где h(z) аналитич.в окрест. т.z₀ и h(z₀)≠0.

Теор.3:Изолиров.ОТ z₀ явл.сущ.особойглав.часть разлож.Лорана с центром z₀ имеет бескон.много отлич.от 0 коэф.C_n.

Теор.4:Если z₀ сущ.ОТ ф-ии f(z),то для любого компл.числа А,включая А=∞,найдется последов.точек z_n такая,что z_n→z₀ и .

Согласно Т.4 в любой сколь угодно малой окрестн.(проколотой),сущ.ОТ ф-ия f(z) принимает зн-ия сколь угодно близкие к любому числу из расшир.компл.пл-сти С.