Лабы / Метрология ЛР3
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет «МИЭТ»
Институт |
«Микроприборов и систем управления» (МПСУ) |
Направление |
«Информатика и вычислительная техника» |
Лабораторная работа №3 по дисциплине
«Метрология, стандартизация и сертификация»
Тема: «Обработка результатов измерений с многократными наблюдениями»
Цель работы: ознакомление с методикой обработки результатов измерений с многократными наблюдениями.
Продолжительность работы: 4 часа.
Аппаратура: персональный компьютер, мультиметр NI PXI-4065, рабочая станция
NI ELVIS.
Выполнили студенты группы «МП-32а»: |
Шкурко Мария |
|
Яндайкина Елена |
Преподаватель: |
Калеев Дмитрий Вячеславович |
2018 г.
Оглавление
1. |
Теоретические сведения..................................................................................................................... |
3 |
||
|
1.1. |
Основные определения................................................................................................................ |
3 |
|
|
1.2. |
Методика обработки выборки..................................................................................................... |
3 |
|
|
1.3. |
Запись результата......................................................................................................................... |
5 |
|
2. |
Выполнение работы............................................................................................................................ |
6 |
||
|
2.1. |
Выборка №1.................................................................................................................................. |
6 |
|
|
2.1.1. |
Основные характеристики выборки.................................................................................... |
6 |
|
|
2.1.2. Проверка наличия промахов в выборке.............................................................................. |
6 |
||
|
2.1.3. Проверка гипотезы о нормальности распределения ......................................................... |
7 |
||
|
2.1.4. |
Запись результатов................................................................................................................ |
8 |
|
|
2.2. |
Выборка №2................................................................................................................................ |
10 |
|
|
2.3. |
Выборка №3................................................................................................................................ |
11 |
|
|
2.4. Выборка №4 – короткое замыкание......................................................................................... |
13 |
||
3. |
Вывод |
................................................................................................................................................. |
16 |
2
1. Теоретические сведения
1.1.Основные определения
Наблюдение - экспериментальная операция, выполняемая в процессе измерений, в результате которой получают одно значение из группы значений величины, подлежащих совместной обработке для получения результата измерения.
Совокупность результатов наблюдений, полученных в процессе одного измерения,
называется выборкой наблюдений.
Сами результаты наблюдений могут быть получены в процессе выполнения измерения любого вида (прямые, косвенные, совокупные, совместные) как по методу непосредственной оценки, так и по методу сравнения с мерой.
Промахи - грубые погрешности, обусловленные субъективными факторами (невнимательность оператора и др.) и не являющиеся объективной характеристикой измеряемой величины.
Грубая погрешность - погрешность измерения, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях погрешность.
Результаты измерений с многократными наблюдениями, как и сами наблюдения, являются случайными величинами, поскольку имеют погрешности, распределенные случайным образом.
Доверительные границы погрешности результата измерений - верхняя и нижняя границы интервала, накрывающего с заданной вероятностью погрешность измерения.
Доверительные границы A(без учета знака) случайной составляющей погрешности результата измерения находят по формуле:
|
~ |
|
|
A A tPд,n , |
где ~ A - оценка среднего квадратичного отклонения результата измерения, tPд,n - коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности Pд и числа n результатов наблюдений. Рекомендуемое значение доверительной вероятности Pд = 0,95%.
Оценка среднего квадратического отклонения результата измерения ~[А] находится по формуле:
~ |
~ |
~ |
|
|
|
x |
|
||||
A x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
n |
||||
|
|
|
|
1.2.Методика обработки выборки
Методику обработки результатов наблюдений, полученных в процессе проведения измерений с многократными наблюдениями, определяет ГОСТ Р-8736-2011 следующим образом.
В качестве значения результата измерений принимается оценка математического ожидания результатов наблюдений - их среднее арифметическое:
3
~ |
|
|
|
1 |
n |
|
x X |
xi , |
|||||
A M |
n |
|||||
|
|
|
|
i 1 |
где xi - значения наблюдений в выборке, n - количество наблюдений в выборке.
Для определения промахов используют правило «трех сигм», так как при нормальном законе распределения случайной величины вероятность нахождения ее значений вне интервала
~ |
|
~ |
~ |
|
M x |
3 |
M x |
- оценка математического ожидания |
|
|
мала и составляет P = 0,003. Здесь |
|
результатов наблюдений; ~ - оценка среднего квадратичного отклонения результатов наблюдений.
Среднее квадратичное отклонение результатов наблюдений - параметр функции распределения результатов наблюдений, характеризующий их рассеивание и равный корню
квадратному из дисперсии D[x] результатов наблюдения (с положительным знаком):
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
~ |
x |
||
|
|
|
|
|||
~ |
~ |
|
xi M |
|||
|
i 1 |
|
|
|
||
x |
D x |
|
n 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы определить примерный характер распределения необходимо первым делом построить гистограмму, где рациональное количество интервалов гистограммы можно оценить по формулам:
L log2 n 1 - критерий Старджеса;
L 5 lgn - критерий Брукса и Каррузера;
L n - критерий Хайнхольда и Гаеде.
Для проверки гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному
распределению, ГОСТ Р 8736-2011 рекомендует использовать критерий согласия 2 Пирсона, который основан на сравнении двух гистограмм: практической из выборки наблюдений и теоретической из предположения, что наблюдения действительно распределены по
~ |
~ |
предполагаемому закону. При этом необходимо наложить условия: M x =M x = , nT = n, |
|
xiT xi . |
|
В соответствии с критерием 2 Пирсона нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу,
если выполняется условие 2 теор(q,k) 2 2 теор(q,k), где 2 теор определяется из таблицы
распределения 2 ; q - уровень значимости выбирается равным 0,05 и 1-0,05 - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии принятия решения отвергнуть проверяемую гипотезу; k - число степеней свободы, k = L–3 для нормального распределения.
Случайная погрешность, приписываемая значению результата измерений, может быть представлена в виде доверительного интервала, в котором с доверительной вероятностью Pд находится истинное значение измеряемой величины.
4
1.3.Запись результата
Результат измерения должен быть записан в соответствии с требованиями МИ 1317-86 с учетом количества значащих цифр, заслуживающих доверие:
результат измерений представляется именованным или неименованным числом;
совместно с результатом измерений должны быть представлены характеристики его погрешности;
характеристики погрешности измерений могут быть представлены в виде границ интервала, в пределах которого погрешность измерений находится с заданной вероятностью;
характеристики погрешности измерений, представленные в виде границ интервала, должны сопровождаться указанием вероятности, с которой они получены;
характеристики погрешности выражаются числом, содержащим не более двух значащих цифр;
наименьшие разряды числовых значений результатов измерений должны быть такими же, как наименьшие разряды характеристики погрешности;
представление результатов измерений, полученных как среднее арифметическое значение результатов многократных наблюдений, должно сопровождаться указанием числа наблюдений.
Определить в результате измерения количество значащих цифр n, заслуживающих доверие можно по следующим формулам:
2 A b 10 ,1 b 10,
A ak10k ak 110k 1 ... ak m10k m, n k .
где А - это оценка истинного значения величины, которая сначала представляется в виде действительного числа от 1 до 10 кратное 10 в степени, а после разложенное в многочлен по степеням 10.
5
2. Выполнение работы
Расчёт параметров выборок производился с помощью ПО Excel и Matlab
2.1.Выборка №1
2.1.1. |
Основные характеристики выборки |
Размер выборки |
3112 |
|
~ |
2,754878101 |
Среднее арифметическое M x |
||
|
~ |
4,44501e-05 |
Среднее квадратическое отклонение x |
||
|
Выборочную дисперсию |
1,97581e-09 |
|
СКО математического ожидания |
0,049383583 |
|
Минимальное значение выборки |
2,754727396 |
|
Максимальное значение выборки |
2,75501029 |
|
Выборочный эксцесс |
-0,32977467 |
|
Коэффициент асимметрии |
-0,01467046 |
2.1.2. Проверка наличия промахов в выборке
Т.к. закон распределения предположительно нормальный, воспользуемся правилом «трёх
сигм».
~ x = 4,44501*10-5
3*~ x = 0,00013335
~ |
|
~ |
|
|
|
|
M |
x + 3* x = 2,755011451 |
|
|
|
||
~ |
|
~ |
|
|
|
|
M |
x - 3* x = 2,754744751 |
|
|
|
||
|
~ |
~ |
|
|
|
|
< M x + 3* x (2,75501029 < 2,755011451) |
|
|
|
|||
|
~ |
~ |
|
|
|
|
< M x - 3* |
x (2,754727396 < 2,754744751) |
|
|
|
||
|
|
|
|
~ |
x ± 3* |
~ |
|
|
Полученные значения с левой стороны выходят за границы интервала M |
x . |
|||
Заключаем, что выборка содержит промахи. Выходящие за пределы интервала значения |
|
|||||
исключаются (2). |
|
|
|
|
||
Пересчитанные основные характеристики |
|
|
|
|||
|
|
Размер выборки |
3110 |
|
|
|
|
|
|
~ |
2,754878193 |
|
|
|
Среднее арифметическое M x |
|
|
|||
|
|
|
~ |
4,43157e-05 |
|
|
|
Среднее квадратическое отклонение x |
|
|
|||
|
|
Выборочную дисперсию |
1,96388e-09 |
|
|
|
|
|
СКО математического ожидания |
0,049399461 |
|
|
|
|
|
Минимальное значение выборки |
2,754749769 |
|
|
|
|
|
Максимальное значение выборки |
2,75501029 |
|
|
|
|
|
Выборочный эксцесс |
-0,366586975 |
|
|
|
|
|
Коэффициент асимметрии |
-0,000773185 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
~ |
|
~ |
< M |
x + 3* x (2,75501029 < 2,75501114) |
||
|
~ |
|
~ |
> M x - 3* |
x (2,754749769 > 2,754745246) |
Новая выборка не содержит промахов.
2.1.3. Проверка гипотезы о нормальности распределения
Для проверки гипотезы предпочтительным является критерий 2 Пирсона.
Критерий согласия 2 Пирсона основан на сравнении двух гистограмм: практической и теоретической.
Определим приближённое количество интервалов гистограммы по критерию Хайнхольда и Гаеде = [√], L = 55.
За левую границу интервала примем наименьшее значение наблюдаемой выборки
(2,754749769).
Рисунок 1. Гистограмма практическая и теоретическая для выборки №1
|
|
|
L |
(N N )2 |
|||
Рассчитаем теоретическое значение хи-квадрат: |
2 |
|
|
j |
N |
|
j |
j 1 |
|
|
j |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
Nj - практическое количество попаданий.
Nj - теоретическое количество попаданий.
Таблица 1. Вычисление теоретического хи-квадрат
практ |
теор |
|
практ |
теор |
|
4 |
2,320727478 |
1,21511734 |
153 |
131,1642579 |
3,635133828 |
3 |
3,127412767 |
0,005190876 |
104 |
128,3657858 |
4,624998111 |
4 |
4,166626543 |
0,006663521 |
113 |
124,199936 |
1,009972872 |
3 |
5,488103069 |
1,128013961 |
110 |
118,8041938 |
0,652450277 |
5 |
7,146579891 |
0,644756695 |
125 |
112,3519159 |
1,423865631 |
9 |
9,200523915 |
0,004370386 |
100 |
105,0430939 |
0,24211774 |
8 |
11,71022326 |
1,175533236 |
99 |
97,09409958 |
0,037411711 |
21 |
14,73520232 |
2,663532484 |
93 |
88,72714015 |
0,20576941 |
19 |
18,33096561 |
0,024418082 |
95 |
80,16013498 |
2,747270747 |
15 |
22,54513775 |
2,525116693 |
71 |
71,59764002 |
0,004988622 |
31 |
27,41313818 |
0,469321593 |
63 |
63,22331831 |
0,000788808 |
33 |
32,95360476 |
6,53197E-05 |
78 |
55,19429323 |
9,423080369 |
44 |
39,16385313 |
0,597191407 |
53 |
47,63754567 |
0,603639755 |
64 |
46,01571866 |
7,028780265 |
38 |
40,64834715 |
0,17254681 |
53 |
53,45216698 |
0,003825008 |
35 |
34,29057086 |
0,014677204 |
71 |
61,38506711 |
1,506016671 |
31 |
28,59860508 |
0,201642617 |
74 |
69,6944933 |
0,265980669 |
22 |
23,58051563 |
0,105936176 |
88 |
78,22985155 |
1,220196623 |
21 |
19,22206562 |
0,164449062 |
91 |
86,81301884 |
0,201937584 |
16 |
15,49120229 |
0,016711105 |
90 |
95,24353862 |
0,288677822 |
10 |
12,34265261 |
0,444638719 |
116 |
103,3057506 |
1,559874121 |
7 |
9,722326415 |
0,762272402 |
103 |
110,7775572 |
0,54605281 |
12 |
7,57129558 |
2,590497575 |
120 |
117,4403622 |
0,055787853 |
7 |
5,829194091 |
0,235158832 |
100 |
123,0895804 |
4,331225443 |
4 |
4,436956206 |
0,043031916 |
148 |
127,5450216 |
3,280458438 |
1 |
3,338874378 |
1,638376511 |
104 |
130,6604181 |
5,439886855 |
2 |
2,484009933 |
0,094309452 |
117 |
132,3313937 |
1,776234847 |
1 |
1,827026674 |
0,374364058 |
108 |
132,50127 |
4,530614921 |
|
|
|
= 73,96494185
2 теор(q,k) 2 2 теор(q,k)
36,43709324 73,96494185 ≥ 69,83216034
Таким образом, отвергаем гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному закону распределения.
2.1.4. Запись результатов |
|
Результат измерения записывается в виде A A, где A – мат. ожидание, |
A - |
доверительные границы интервала случайной составляющей погрешности результата измерения.
8
[ ] = ̅= √[ ] = 7,94652E-07
A tP ,n ~[A], где t – коэффициент Стьюдента, рассчитанный при помощи калькулятора вероятностей.
t = 1,96072731016
Приняв доверительную вероятность 95%, получаем ∆ = 1,5581E-06.
Сравним полученные значения доверительного интервала с практическими:
A − ∆ = 2,754876635
Confid - 5% = 2,617134283
A +∆ = 2,754879751
Confid + 5% = 2,892622103
Значения не совпадают.
Определим количество значащих цифр, заслуживающих доверие:
2 A b 10 ;1 b 10 3,11619E-06 = ∙10
=-6;
A ak 10k ak 1 10k 1 .......
2,754878193 = 2∙10 +7∙10 + +8 10 k=0;
n=k- =6; A=2,7548778
∆ = 1,5581E-06
− ∆ = 2,754876
+∆ = 2,754879
Запись результата измерений в соответствии с МИ 1317-86:
9
A=2,7548778 1,5581E-06
Доверительная вероятность P =0,95,
Количество испытаний N=3110.
2.2.Выборка №2
Основные характеристики выборки:
|
Размер выборки |
3021 |
|
~ |
6,240494592 |
Среднее арифметическое M x |
||
|
~ |
5,95882E-05 |
Среднее квадратическое отклонение x |
||
|
Выборочную дисперсию |
3,55076E-09 |
|
СКО математического ожидания |
0,11353863 |
|
Минимальное значение выборки |
6,240284951 |
|
Максимальное значение выборки |
6,240657333 |
|
Выборочный эксцесс |
-0,25963086 |
|
Коэффициент асимметрии |
-0,26583951 |
Проверка наличия промахов в выборке:
Т.к. закон распределения предположительно нормальный, воспользуемся правилом «трёх сигм».
~ x = 5,95882E-05
3*~ x = 0,000178765
~ |
|
~ |
|
|
|
|
M |
x + 3* x = 6,240673356 |
|
|
|
||
~ |
|
~ |
|
|
|
|
M |
x - 3* x = 6,240315827 |
|
|
|
||
|
~ |
~ |
|
|
|
|
< M x + 3* x (6,240657333 < 6,240673356) |
|
|
|
|||
|
~ |
~ |
|
|
|
|
< M x - 3* |
x (6,240284951 < 6,240315827) |
|
|
|
||
|
|
|
|
~ |
x ± 3* |
~ |
|
|
Полученные значения с левой стороны выходят за границы интервала M |
x . |
|||
Заключаем, что выборка содержит промахи. Выходящие за пределы интервала значения |
|
|||||
исключаются (6). |
|
|
|
|
||
Пересчитанные основные характеристики: |
|
|
|
|||
|
|
Размер выборки |
3015 |
|
|
|
|
|
|
~ |
6,240494965 |
|
|
|
Среднее арифметическое M x |
|
|
|||
|
|
|
~ |
5,90554E-05 |
|
|
|
Среднее квадратическое отклонение x |
|
|
|||
|
|
Выборочную дисперсию |
3,48754E-09 |
|
|
|
|
|
СКО математического ожидания |
0,113651554 |
|
|
|
|
|
Минимальное значение выборки |
6,240318759 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|