Линейная алгебра, Мат. анализ, Теория вероятностей и мат. статистика (ТВиМС)
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
Теория вероятностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
Комбинаторика |
|
Pn = n! – |
число перестановок из n элементов, где n!=1·2·3·4·…·n – факториал, 0!=1. |
|||||||
Cnk = |
|
n! |
|
|
– число сочетаний из n элементов по к элементов. |
|||
|
|
|
|
|
||||
k !(n − k)! |
||||||||
|
|
|
||||||
Ak = |
|
n! |
– |
число размещений из n элементов по к элементов. |
||||
|
|
|
|
|||||
|
(n − k)! |
|||||||
n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Вероятность события
Опр. Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления события.
Классическое определение вероятности события: P( A) = m , где n – число всех исхо-
n
дов испытания, m – число благоприятствующих событию А исходов. 0≤P(A)≤1
W ( A) = M
N – относительная частота события , W(A)≈P(A).
Теоремы сложения и умножения вероятностей
P( A) + P(B), если A и B несовместны;
P( A + B) = + −
P( A) P(B) P( AB), если A и B совместны.
P( A)P(B), если A и B независимы;
P( AB) =
P( A)PA (B), если A и B зависимы.
Следствия:
1.P( A1 + A2 + ... + An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An ) , если события попарно несовместны.
2.P( A1 + A2 + ... + An ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( An ) = 1, если события образуют полную группу.
3.P( A) = 1− P( A) .
4.P( A1 A2 ...An ) = P( A1 )P( A2 )...P( An ) , если события независимы.
5.P( A1 A2 ...An ) = P( A1 )PA1 ( A2 )PA1 A2 ( A3 )...PA1 ... An−1 ( An ) , если события зависимы.
Формула полной вероятности. Формула Байеса
|
|
P( A) = P(H1 )PH |
( A) + P(H2 )PH |
( A) + ...P(Hn )PH |
( A) |
|||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
n |
|
H1 , H2 ,..., Hn – гипотезы, P(H1 ) + P(H2 ) + ... + P(Hn ) = 1. |
|
|||||||
Формула Байеса: |
|
(Hi ) = |
P(Hi )PHi |
(A) |
i = 1..n |
|
|
|
PA |
|
|
, |
|
|
|||
P(A) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
Независимые повторные испытания
Название |
Формула |
Условия |
|
формулы |
применения |
||
|
Формула |
|
|
P (k ) = C k pk qn−k |
|
|
|
|
|
|
n |
мало |
|||||||||||||||||||
Бернулли |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
k − np |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Pn (k) ≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Локальная |
|
где ϕ (x) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 . |
|
|
|
|
|
|
n – |
велико |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Свойства φ(х): 1. φ(-x)=φ(x); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2. значения функции занесены в таблицу, причём |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
если х>3,99, то φ(х)≈0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ k e−λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n – |
велико |
|||||||
Формула |
P (k) ≈ |
, где λ=np |
|
|
|
|
(n≥100), |
|||||||||||||||||||||||
Пуассона |
|
k ! |
|
|
|
|
|
|
|
p |
– мало |
|||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p≤0,1) |
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
|
− np |
k − np |
|
|
||||||||||||||||||
|
Pn (k1 ≤ k ≤ k2 ) ≈ |
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− Ф |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
где Ф(x) = |
1 |
x |
|
− |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интегральная |
|
|
|
e 2 dt – функция Лапласа. |
n – |
велико, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2π |
|
||||||||||||||||||||||||||||
формула |
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k [k1 , k2 ] |
|||||||
Лапласа |
Свойства Ф(х) : 1. -0,5< Ф(х) <0,5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2. Ф(-х)=-Ф(х); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3. значения функции занесены в таблицу, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
причём если х>5, то Ф(х)≈0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Наиболее вероятное число наступлений события при повторных |
испытаниях: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
np − q ≤ k0 ≤ np + p |
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайные величины
Дискретная случайная величина
Опр. Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется величина, возможные значения которой изолированы друг от друга, и их можно занумеровать.
Закон распределения ДСВ задаётся в виде таблицы:
|
|
X |
x1 |
x2 |
|
… |
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
p1 |
p2 |
|
… |
|
p |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1, x2, …, x n – |
возможные значения величины, |
|
p1, p2, …, p n – их вероятности, причём |
|||||||
p1 + p2 + ... + pn |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
Числовые характеристики дискретной случайной величины
n |
= x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn |
1) Математическое ожидание: M ( X ) = ∑ xi pi |
|
i =1 |
|
Вероятностный смысл: математическое ожидание величины приближённо равно её среднему значению.
M (C) = C,
=
Свойства М(Х): M (CX ) CM ( X ),
M ( X ± Y ) = M ( X ) ± M (Y ),
M ( XY ) = M ( X )M (Y ).
2) Дисперсия – число, характеризующее степень разброса значений величины вокруг её среднего значения.
n |
|
( x1 - M ( X ))2 p1 + ... + ( xn - M ( X ))2 pn |
|
D( X ) = ∑( xi - M ( X ))2 pi = |
|||
i=1 |
|
|
|
|
|
или |
|
D( X ) = M ( X 2 ) |
n |
2 pi - M 2 ( X ) = x12 p1 + ... + xn |
2 pn - M 2 ( X ) |
- M 2 ( X ) = ∑ xi |
|||
|
i=1 |
|
|
D( X ) ³ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
D(C) = 0, |
|
|
|
Свойства D(X): |
|
|
|
D(CX ) = C2 D( X ), |
|
|
|
|
= D( X ) + D(Y ). |
|
|
D( X ± Y ) |
|
|
3)Среднее квадратическое отклонение: σ ( X ) = D( X )
4)Мода (Мо) – наиболее вероятное значение.
5)Медиана (Ме) – значение, делящее распределение на две равные части.
Виды распределения ДСВ
Вид |
|
Случайная величина Х |
|
Формула pk |
Числовые характеристики |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
альное |
Х – |
число наступлений события А в |
|
|
|
|
Биноми |
n |
повторных независимых испыта- |
|
Pn (k ) = Cnk pk qn−k |
M ( X ) = np, D( X ) = npq |
||
|
|
ниях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пуассона |
Х – |
число наступлений события А в |
|
|
k ! |
|
|
мало (p≤0,1). |
|
|
|
||||
|
|
n повторных независимых испыта- |
Pn (k ) » |
λ k e−λ |
M ( X ) = D( X ) = λ = np |
||
|
|
ниях, причём n - велико (n≥100), p – |
, где λ = np |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
P = qk −1 p |
|
Геометри |
ческое |
|
|
то Pn |
= qn−1 p + qn |
|
|
|
|
Х – |
число испытаний, проведённых |
|
|
k |
|
|
|
Если число испытаний ограничено, |
По общим формулам |
||||
|
|
до первого появления события А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53
Непрерывная случайная величина
Опр. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется величина, возможные значения которой непрерывно заполняют собой некоторый конечный или бесконечный интервал.
F(x) = P(X < x) – |
функция распределения вероятностей случайной величины. |
|||||
|
0 £ F (x) £ 1, |
|
|
|
||
|
x < x F (x ) £ F (x ), |
|
||||
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
Свойства F(x): |
P |
{x £ X £ x |
} = F (x ) - F (x ), |
|||
|
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
= 1, |
|
|
|
|
F (+¥) |
|
|
|
||
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
F (-¥) |
|
|
|
f (x) = F ′(x) – плотность распределения вероятностей НСВ.
f (x) ³ 0,
+∞
∫ |
f (x)dx = 1, |
||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
x2 |
Свойства f(x): |
|
|
|
P{x1 £ X £ x2 } = ∫ f (x)dx, |
|||
|
|
|
x1 |
|
|
x |
|
|
(x) = |
∫ |
f (x)dx. |
F |
|
||
|
|
−∞ |
|
Числовые характеристики непрерывной случайной величины |
|||
|
|
|
b |
1) Математическое ожидание: M ( X ) = ∫ xf (x)dx |
|||
|
|
|
a |
2) Дисперсия: |
|
|
|
|
|
b |
b |
D( X ) = ∫ |
( x - M ( X ))2 f (x)dx или D( X ) = ∫ x2 f (x)dx - M 2 ( X ) |
||
|
|
a |
a |
3) Среднее квадратическое отклонение: σ ( X ) = D( X )
54
Виды распределения НСВ
Плотность |
распределения |
ения
Числовые Функция распредел характеристики
Вероятность попадания в интервал
Равномерное |
Нормальное |
Показательное |
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
( x−a)2 |
f (x) = |
0, x < 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
e |
|
|
σ |
|
|
0, x < a |
σ |
|
|
|
|
|
|
λe−λ x , x ³ 0 |
|||||
2π |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) = |
|
|
, a £ x £ b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
- a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0, x > b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, x < a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
- a |
x − a |
0, x < 0 |
||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||
F (x) = |
|
|
|
|
|
, a £ x £ b |
F (x) = 0,5 − Ф |
|
|
F (x) = |
|
|
|
|
|
|
||
|
b |
- a |
σ |
|
1- e−λ x , x ³ 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, x > b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ( X ) = |
a + b |
|
|
|
|
|
M ( X ) = |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
λ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
M ( X ) = a, D( X ) = σ 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(b - a)2 |
D( X ) = |
|
1 |
|
|
||||||||||
D( X ) = |
σ ( X ) = σ |
|
|
λ 2 |
||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
σ ( X ) = |
1 |
|
|
|
||||||
σ ( X ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
D( X ) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
λ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (α < X < β ) = |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
β |
- a |
α - a |
|
|
||||
|
|
|
= Ф |
|
σ |
|
-Ф |
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|||
P (α < X < β ) = |
β − α |
|
P ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
P (α < X < β ) = e−αλ - e− βλ |
|
b − a |
|
|
X - a |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
< δ ) = 2Ф |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( |
|
Правило трёх сигм: |
) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
( |
|
|
|
|
||
|
|
P |
X −a |
<3σ |
|
= P |
a−3σ < X < a+3σ |
|
≈1 |
55
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон больших чисел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Неравенство Чебышева: P ( |
|
|
X - M ( X ) |
|
|
£ ε ) ³ 1- |
D( X ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ε 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
X |
1 |
|
+ X |
2 |
+ ... + X |
n |
|
M ( X |
) + M ( X |
2 |
) + ...M ( X |
n |
) |
|
|
|
C |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Теорема Чебышева: P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
£ ε |
³ 1- |
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nε |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где D( X i ) £ C, i = 1...n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теорема Бернулли: lim P |
|
|
|
|
- p |
|
< ε = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n→∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элементы математической статистики
Выборочная средняя: x = 1 ∑k xi mi
n i =1
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
2 |
||
Дисперсия: D = |
1 |
∑(xi − |
x |
)2 |
mi |
или D = |
1 |
∑ xi |
2 mi − ( |
x |
) |
|
|
|
|
||||||||||
|
n i =1 |
|
|
n i =1 |
|
|
|
|
Среднее квадратическое отклонение: σ = D
Коэффициент вариации: V = σ ×100 %
x
Мода: М0 = хм |
+ h |
|
m2 − m1 |
|
. |
|
(m2 |
- m1 ) + (m2 |
- m3 ) |
||||
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
хМ0 – начало модального интервала (интервала с наибольшей частотой);
h – длина частичных интервалов;
m1 – частота домодального интервала; m2 – частота модального интервала; m3 – частота замодального интервала.
|
|
|
|
n |
- mH |
|
|
|
|
|
|
|
|
Медиана: Ме = хм |
+ h × |
2 |
. |
|||
|
||||||
|
|
е |
|
|
mMe |
|
|
|
|
|
|
|
|
xMe |
– |
начало медианного интервала; |
||||
h – |
длина частичных интервалов; |
|||||
n – |
объём выборки; |
|
||||
mН |
– |
накопленная частота домедианного интервала; |
mМе – частота медианного интервала.
56
57
58
59