Линейная алгебра, Мат. анализ, Теория вероятностей и мат. статистика (ТВиМС)
.pdfСПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Прямая на плоскости
φ – угол наклона прямой, φ [0;π).
k=tg φ – угловой коэффициент, k (-∞;+∞).
Стандартные уравнения прямой
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y = kx + b
k – угловой коэффициент прямой,
b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.
2. Уравнение прямой с известным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку:
y − y0 = k(x − x0 )
k – угловой коэффициент прямой, ( x0 , y0 ) – координаты заданной точки.
3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
y − y1 |
= |
x − x1 |
y2 − y1 |
|
x2 − x1 |
( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) – координаты заданных точек.
4. Общее уравнение прямой:
Ax + By + С = 0
А, В, С – некоторые числа, причём А2+В2≠0.
Частные случаи уравнения:
y=b – уравнение прямой, параллельной оси Ox (y=0 – ось Ox). x=a – уравнение прямой, параллельной оси Oy (x=0 – ось Oy). y=kx – уравнение прямой, проходящей через начало координат.
41
|
|
|
|
Угол между прямыми |
||||||
tgθ = |
|
k2 - k1 |
|
, где k , k |
2 |
- угловые коэффициенты прямых. |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
|
1+ k2k1 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Условие параллельности прямых: ℓ2 ℓ1 Û k2 = k1 |
|
|
|
|||||||
Условие перпендикулярности прямых: ℓ2 ^ ℓ1 Û k2 |
= - |
1 |
|
|||||||
k1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальное исчисление
Опр. Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
y¢(x) = lim |
y |
= lim |
f (x + |
x) − f (x) |
Dx |
|
Dx |
||
x→0 |
x→0 |
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.
Геометрический смысл производной
Производная функции, вычисленная в точке х0, равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке:
y′(x0 ) = kкас
Биологический смысл производной
Пусть функция p=p(t) задаёт число особей в популяции в зависимости от времени t. Тогда производная этой функции, вычисленная в точке t0, равна скорости размножения популяции (если она положительна, то это скорость размножения, если отрицательна – скорость вымирания) в момент времени t0:
p′(t0 ) = v(t0 )
Правила дифференцирования
1. (Cu )¢ = Cu¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. (u ± v)¢ = u¢ ± v¢ |
4. |
u ¢ |
= |
u¢v - uv¢ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
v |
2 |
|
|
|||||
|
|
v |
|
|
|
|
|||
3. (uv)¢ = u¢v + uv¢ |
5. f ¢(u(x)) = f |
¢×u¢ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u x |
42
Таблица производных
Основные элементарные функции
1.C′ = 0.
2.x¢ = 1.
3.(xα )¢ = α xα −1 ,
4.( x )¢ = 2 1 x ,
5.1 ¢ = - 12 ,x x
6.(ax )¢ = ax ln a,
7.(ex )¢ = ex ,
8. (loga x)¢ = |
1 |
, |
|
||
|
x ln a |
9. (ln x)¢ = 1 , x
10.(sin x)¢ = cos x,
11.(cos x)¢ = -sin x,
12. |
(tgx)¢ = |
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13. |
(ctgx)¢ = - |
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sin2 |
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
14. |
(arcsin x)¢ = |
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
- x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
15. |
(arccos x)¢ = - |
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1- x2 |
|||||||
16. |
(arctgx)¢ = |
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
+ x2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
17. |
(arcctgx)¢ = - |
|
1 |
, |
|
||||||||||
|
+ x2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Сложные функции
(uα )¢ = α uα −1u¢
( |
|
|
) |
2 |
|
u |
|||||||
|
|
|
|
¢ |
= |
|
1 |
|
|
|
×u¢ |
||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
¢ |
= - |
1 |
|
×u¢ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
u |
2 |
|
|||||||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(au )¢ = au ln a ×u¢ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(eu )¢ = eu u¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(loga u )¢ = |
|
|
1 |
|
|
|
|
×u¢ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
u ln a |
|
|
|
|
|
|
||||||||
(ln u )¢ = |
1 |
×u¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(sin u )¢ = cos u ×u¢ |
|
|
|
|||||||||||||||
(cos u )¢ = -sin u ×u¢ |
|
|
|
|||||||||||||||
(tgu )¢ = |
1 |
|
|
|
×u¢ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
cos2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(ctgu )¢ = - |
|
|
1 |
|
|
|
×u¢ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin2 u |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(arcsin u )¢ = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
×u¢ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
- u2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(arccos u )¢ = - |
|
|
|
1 |
|
|
|
×u¢ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- u2 |
||||||||
(arctgu )¢ = |
|
1 |
|
|
|
×u¢ |
|
|
|
|||||||||
|
+ u2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
(arcctgu )¢ = - |
|
1 |
|
×u¢ |
||||||||||||||
|
+ u2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
43
Интегральное исчисление
Опр. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если выполнено равенство: F ′(x) = f (x) .
Опр. Общее выражение множества всех первообразных для функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции.
∫ f (x)dx = F (x) + C
Опр. Операция нахождения первообразной называется интегрированием функции.
Свойства неопределённого интеграла
1.∫α f (x)dx = α ∫ f (x)dx, α - const,
2.∫( f1 (x) ± f2 (x)) dx =∫ f1 (x)dx ±∫ f2 (x)dx,
3.∫ f (ax + b)dx = 1 F (ax + b) + C.
a
Таблица основных интегралов
1. ∫ dx = x + C
2. ∫ xα dx = |
|
|
xα +1 |
|
+ C, α ¹ -1 |
||||||
α +1 |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||
3. ∫ |
dx |
= ln |
|
x |
|
+ C |
|||||
|
|
||||||||||
|
|||||||||||
|
x |
ax |
|
|
|
||||||
4. ∫ ax dx = |
+ C |
||||||||||
ln a |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
5.∫ ex dx = ex + C
6.∫sin xdx = - cos x + C
7.∫ cos xdx = sin x + C
8. ∫ |
|
dx |
|
= tgx + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
9. ∫ |
dx |
|
= -ctgx + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
10. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
|
1 |
arctg |
x |
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= arcsin |
|
x |
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
a |
2 |
- x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
1 |
ln |
|
a + x |
|
+ C |
|
или |
∫ |
dx |
= |
1 |
ln |
|
|
x - a |
|
+ C |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 - x2 |
|
|
|
2a |
|
a - x |
|
|
|
x2 - a2 |
2a |
|
|
x + a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
x + |
|
|
x2 + m |
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
+ m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определённый интеграл
Опр. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a;b] называется предел интегральной суммы
n
∑ f (xi ) xi при n→∞ и λ→0, не зависящий ни от способа разбиения отрезка, ни от
i=1
выбора промежуточных точек хi:
b |
f (x)dx = lim |
n |
|
|
∫ |
∑ |
f (x ) |
x |
|
n→∞ |
i |
i |
||
a |
λ →0 |
i=1 |
|
|
n – число отрезков, на которые разбит отрезок [a;b], λ – длина наибольшего отрезка, хi – некоторая точка i-го отрезка.
b
Формула Ньютона-Лейбница: ∫ f (x)dx = F (x) ba = F (b) − F (a)
a
Геометрический смысл: Определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [a;b]
b
функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ox: ∫ f (x)dx = Sкр.тр.
a
|
|
|
Свойства определённого интеграла |
b |
|
b |
|
1.∫Сf (x)dx = С∫ f (x)dx, где С − const, |
|||
a |
|
a |
|
b |
|
b |
b |
2.∫( f1 (x) ± f2 (x)) dx = ∫ f1 (x)dx ± ∫ f2 (x)dx, |
|||
a |
|
a |
a |
b |
|
a |
|
3.∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx, |
|
||
a |
|
b |
|
b |
c |
b |
|
4.∫ f (x)dx =∫ f (x)dx +∫ f (x)dx, где c [a;b],
a |
a |
c |
a
5.∫ f (x)dx =0,
a
45
a |
0, если f (x) − нечётная функция, |
|
|
|
|
6. ∫ |
|
|
f (x)dx = |
a |
|
− a |
2∫ f (x)dx, если f (x) − чётная, |
|
|
|
0 |
b
7. Если f (x) ³ 0 (£ 0) при всех x Î[a;b], то ∫ f (x)dx ³ 0 (£ 0).
a
Геометрические приложения: площадь фигуры
b
Sф. = ∫( f (x) − g(x)) dx,
a
где a и b – абсциссы точек пересечения графиков, которые находят из уравнения f(x)=g(x).
Дифференциальные уравнения
Опр. Дифференциальное уравнение – это уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные или дифференциалы различных порядков этой функции, при этом порядок старшей производной или дифференциала называется порядком уравнения.
F ( x, y(x), y′(x),..., y(n) (x)) = 0 –
общий вид дифференциального уравнения n-го порядка
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными
Общий вид: y′(x) = f (x)g( y) или f1 (x)g1 ( y)dx + f2 (x)g2 ( y)dy = 0
46
Схема решения
y′ = f (x)g( y).
y¢ = dy , dx
dy = f (x)g( y) ×dx, dx
dy = f (x)g( y)dx : g( y),
dy = f (x)dx, g( y)
∫ dy = ∫ f (x)dx, g( y)
G( y) = F (x) + C.
Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
y′′ + py′ + qy = 0
Корни характеристического уравнения |
|
|
Общее решение дифференциального уравнения |
||||||||
|
|
|
k 2 + pk + q = 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D>0, k |
≠k |
2 |
|
|
|
y = C ek1x + C |
ek2 x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
D=0, k |
=k |
2 |
|
|
|
y = C ek1x + C |
xek2 x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
комплексные числа, i= |
|
– |
y = eα x (C cos β x + C |
|
|
|
||
D<0, k1,2=α±βi – |
-1 |
2 |
sin β x) |
||||||||
мнимая единица. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряды |
|
|
|
|
|
||
Опр. Рядом называется бесконечная сумма членов некоторой |
последовательно- |
||||||||||
сти, общий член которой является функцией номера n. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 + u2 + u3 + ... + un + ... = ∑un , un |
= f (n), n Î N |
|
|
|
n=1
Ряды
числовые функциональные
Числовые ряды
Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un – n- я частичная сумма.
47
lim Sn |
S - const. ряд сходится, S - cумма ряда, |
= |
|
n→∞ |
¥ расходится. |
Rn = S − Sn – остаток сходящегося ряда.
Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов
Необходимый признак сходимости (достаточный признак расходимости):
∞ |
сходится lim un = 0, |
|
∑un |
||
n=1 |
n→∞ |
|
∞ |
||
lim un |
||
¹ 0 ∑un расходится |
||
n→∞ |
n=1 |
|
|
Признак Даламбера
lim un+1
n→∞ un
l < 1 сходится, |
|
|
расходится, |
= l l > 1 |
|
l = 1 |
? (вопрос о сходимости ряда не решён) |
|
|
Алгебраический признак Коши
|
|
l < 1 сходится, |
||
|
|
|
расходится, |
|
lim n un |
||||
= l l > 1 |
||||
n→∞ |
l = 1 |
? |
||
|
|
|
|
Интегральный признак
Пусть f(x) – непрерывная, положительная и убывающая функция при х≥1. Тогда
+∞ |
|
|
|
∞ |
∫ f (x)dx - сходится ( расходится) ряд ∑un , где un = f (n), n Î N , |
||||
1 |
|
|
|
n=1 |
тоже сходится ( расходится). |
||||
|
|
|
1-й признак сравнения |
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
∑un сходится ∑vn сходится, |
||
un |
³ vn |
n=1 |
n=1 |
|
|
∞ |
∞ |
||
|
|
∑vn |
расходится ∑un расходится. |
|
|
|
n=1 |
n=1 |
2-й признак сравнения (предельный)
48
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
0 |
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
lim |
|
|
|
n |
¹ |
|
|
|
ряды ∑un и |
∑vn сходятся(расходятся) одновременно. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ v |
n |
|
|
¥ |
|
n =1 |
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стандартные числовые ряды |
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
< 1 сходится, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑bqn−1 - геометрическая прогрессия, |
|
|
|
³ 1 расходится, |
||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∑ |
- гармонический ряд, расходится, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p > 1 сходится, |
||||||
|
∑ |
|
|
|
|
- обобщённый гармонический ряд, |
|||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p £ 1 расходится. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знакочередующиеся числовые ряды |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 - u2 + u3 - u4 + ... = ∑(-1)n+1 un , un > 0 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.u > u |
2 |
> u |
> ... |
∞ |
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Признак Лейбница: |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
∑( |
-1) |
un |
сходится |
|||||||||||||
2.lim un = |
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∑(-1) |
|
|
- сходится |
|
∞ |
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
un - cходится абсолютно. |
|||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(-1) |
|
|
|||||||||||
|
∑un - сходится |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∞ |
( |
-1) |
n+1 |
un - сходится |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(-1) |
un - cходится условно. |
|||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∑un - |
|
расходится |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
Теорема: ∑un , составленный из абсолютных величин знакочередующего-
n=1
ся ряда, сходится, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.
Функциональные ряды
∞
u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) + ... + un (x) + ... = ∑un (x), un (x) = f (n; x), n Î N
n=1
Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды:
49
∞
a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... = ∑ an xn
n=0
x (−R; R) – область сходимости степенного ряда.
R = lim |
an |
– радиус сходимости. |
|
a |
|
||
n→∞ |
n +1 |
|
Опр. Разложением функции f(x) в ряд по степеням (х-а) (рядом Тейлора) называется ряд вида:
f (x) = f (a) + f ′(a) ( x − a ) + |
f ′′(a) ( x − a )2 + ... = ∑ |
|||
|
|
|
|
∞ |
1! |
|
2! |
n=0 |
Опр. Ряд Тейлора при а=0 называется рядом Маклорена.
Разложение основных элементарных функций
f (n ) (a) ( x − a)n
n!
вряд Маклорена
ex = 1+ |
x |
+ |
x2 |
|
+ |
x3 |
+ |
x4 |
+ ..., |
x (−∞; +∞) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1! |
2! |
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
sin x = |
x |
− |
x3 |
+ |
x5 |
|
− |
x7 |
+ ..., |
x (−∞; +∞) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1! |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos x = 1− |
x2 |
|
|
+ |
|
x4 |
|
− |
x6 |
|
+ ..., |
|
x (−∞; +∞) |
|||||||||||||||||||||||||||||
2! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ln(1+ x) = x − |
x2 |
|
+ |
x3 |
|
− |
x4 |
+ ..., x (−1;1] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
(1+ x)m = 1+ |
m |
x + |
m(m −1) |
x2 + |
m(m −1)(m − 2) |
x3 + ..., x (−1;1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
3! |
|
||||||||||||||||||
arc tgx = x − |
x3 |
|
|
|
+ |
x5 |
|
− |
x7 |
|
+ ..., |
x [−1;1] |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Примечание: n! = 1× 2 ×3×...× n – |
|
|
|
факториал. |
|
|
|
50