- •Содержание
- •Тема 1 Элементы линейной алгебры 2
- •Тема 2. Аналитическая геометрия 25
- •Тема 1 Элементы линейной алгебры
- •1.1 Определители второго и третьего порядков
- •1.2 Определители n-го порядка
- •1.3 Система n линейных уравнений с n неизвестными
- •1.4 Матрицы. Действия над матрицами
- •1.4.1 Основные действия над матрицами
- •1.5 Матричный способ решения системы линейных уравнений
- •1.6 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •Тема 2. Аналитическая геометрия
- •2.1 Декартовы координаты на прямой, на плоскости и в пространстве
- •2.2 Вектор. Основные понятия. Действия над векторами
- •2.3 Простейшие задачи метода координат
- •1. Расстояние между точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении
- •2.4 Уравнение линии. Прямая на плоскости
- •2.5 Геометрический смысл линейных неравенств
- •2.6 Уравнение поверхности в пространстве. Плоскость
- •2.7 Применение определителей к решению некоторых задач аналитической геометрии
- •2.8 Обзор кривых второго порядка
- •Список литературы
1.4.1 Основные действия над матрицами
1. Сложение матриц.
Суммой двух матриц А и В одного и того же порядка называется матрица С того же порядка, все элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Обозначают А+В=С.
Если аij и - элементы матриц А и В соответственно, то элемент матрицы С .
2. Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой умножены на это число.
3. Транспонирование матрицы.
Если матрица А порядка т х п, то транспонированная матрица имеет порядок п х т и получается заменой строк столбцами. Обозначается Ат.
№ 11. Примеры.
Если , то сумма С=А+В – матрица, равная .
Произведение матрицы А на число k
Найдем разность матриц
Транспонированные для матриц А и В матрицы
Ат= и Вт=.
Заметим, что единичная матрица Е при транспонировании не меняется.
4. Умножение матрицы на матрицу.
Операция умножения матриц является исходным пунктом обширной теории – алгебры матриц, играющей важную роль в различных разделах математики и ее приложениях.
Пусть даны матрица А порядка т х р и матрица В порядка р х п. Обозначим
аik – элемент матрицы А, i=1,2,…,т; k=1,2,…,р;
- элемент матрицы В, k=1,2,…,р; j=1,2,…,п.
Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С порядка т х п, каждый элемент которой
, т.е. элемент сij, стоящий в строке с номером i и столбце с номером j, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.
Из этого определения вытекает, что матрицу А можно умножать не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.
В качестве примера рассмотрим
.
Записана формула умножения матрицы порядка 3х2 на матрицу порядка 2х2. Очевидно, если возможно умножение АВ, то умножение ВА не всегда возможно. Если обе матрицы квадратные одного порядка, то возможны умножения в любом порядке, но и тогда, как правило,
Например, если , то , т.е. .
В случае, если одна из матриц – сомножителей является единичной, то АЕ=ЕА=А.
Заметим, что в этом случае А – квадратная матрица.
Пример.
№ 12. , .
Найти произведения АВ и ВА.
=
5. Обратная матрица
Действия над матрицами во многом аналогичны действиям над обычными числами. Среди чисел существует число 1 (единица) такое, что а1=1а=а для любого числа а.
Среди квадратных матриц роль такой «единицы» выполняет единичная матрица Е: АЕ=ЕА=А для любой квадратной матрицы А.
Для каждого числа а, отличного от нуля (а0), существует обратное число а-1 такое, что аа-1=а-1а=1.
Оказывается, что аналогичное свойство справедливо и для матриц, причем роль условия а0 играет условие,
где через А мы обозначаем определитель матрицы А. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю, называется вырожденной.
Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если.
Итак, для всякой невырожденной матрицы существует обратная.
Правило отыскания обратной матрицы.
Пусть дана невырожденная квадратная матрица А порядка п и аij – элемент ее (i,j=1,2,…,п).
По условию определитель матрицы А . Найдем для всех элементов аij матрицы их алгебраические дополнения Аij. Составим матрицу, заменив каждый элемент аij алгебраическим дополнением Аij. Естественно, это будет тоже квадратная матрица порядка п. Затем протранспонируем ее и умножим на число . Полученная матрица и будет обратной для матрицы А.
Итак, если
то обратная матрица
.
Для отыскания обратной матрицы необходимо:
1. Вычислить определитель данной матрицы (должно быть ).
2. Вычислить алгебраические дополнения Аij для всех элементов аij матрицы А по формуле Аij=(–1)i+jМij, где Мij – минор элемента аij.
3. Составить матрицу из алгебраических дополнений Аij.
4. Протранспонировать матрицу из алгебраических дополнений.
5. Полученную после транспонирования матрицу умножить на число .
Пример.
№ 13. Найти обратную для матрицы
1)
2)
3) Составим матрицу из алгебраических дополнений
4) и протранспонируем ее:
.
5) Умножив последнюю матрицу на число , получим обратную матрицу:
Убедимся в том, что обратная матрица найдена правильно:
Так как , то обратная матрица найдена верно.