7.8. Топологические понятия электрических цепей

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения.

Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.

Узел – место соединения трех и более ветвей.

Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути.

Двухпо́люсник — многополюсник, имеющий две точки подключения. К ним относятся источники энергии (за исключением управляемых и многофазных), резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы.

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называется графом электрической цепи.

Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным.

Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.

Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура.

9. Законы Кирхгофа

1.алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю

2.алгебраическая сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого контура электрической цепи равна нулю

10. Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи.

а) Постоянный ток

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

11. Основные свойства линейных электрических цепей

Метод наложения

Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными.

Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.

Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается соотношением

Здесь - комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях; - комплекс взаимной проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.

Принцип взаимности

Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без доказательства: для линейной цепи ток в k – й ветви, вызванной единственной в схеме ЭДС , находящейся в i – й ветви, будет равен току в i – й ветви, вызванному ЭДС , численно равной ЭДС , находящейся в k – й ветви,

Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: если ЭДС , действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источников, вызывает в другой ветви ток (см. рис. 3,а), то принесенная в эту ветвь ЭДС вызовет в первой ветви такой же ток

Принцип компенсации

Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения на этом сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви.

12. Эквивалентные преобразования пассивных элементов электрической цепи

1. Преобразование последовательно соединенных элементов

Рассмотрим участок цепи на рис. 5,а. При расчете внешней по отношению к этому участку цепи данную ветвь можно свести к виду на рис. 5,б, где

При этом при вычислении эквивалентной ЭДС k-я ЭДС берется со знаком “+”, если ее направление совпадает с направлением эквивалентной ЭДС, и “-”, если не совпадает.

2. Преобразование параллельно соединенных ветвей

Пусть имеем схему на рис. 6,а.

Согласно закону Ома для участка цепи с источником ЭДС

Где

Тогда

где

причем со знаком “+” в (4) записываются ЭДС и ток , если они направлены к тому же узлу, что и ЭДС ; в противном случае они записываются со знаком “-”

13. Преобразование электрической цепи в виде треугольника в эквивалентную звезду

Треугольник-звезда Звезда-треугольник

23. Идеальные элементы цепи переменного тока. Схемы замещения

Резистор

Идеальный резистивный элемент не обладает ни индуктивностью, ни емкостью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение , то ток i через него будет равен

(1)

Соотношение (1) показывает, что ток имеет ту же начальную фазу, что и напряжение. Таким образом, если на входе двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i, то соответствующие им синусоиды на его экране будут проходить (см. рис. 2) через нуль одновременно, т.е. на резисторе напряжение и ток совпадают по фазе.

Конденсатор

Идеальный емкостный элемент не обладает ни активным сопротивлением (проводимостью), ни индуктивностью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение то ток i через него будет равен

(3)

Полученный результат показывает, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на П/2.

Катушка индуктивности

деальный индуктивный элемент не обладает ни активным сопротивлением, ни емкостью. Пусть протекающий через него ток (см. рис. 8) определяется выражением . Тогда для напряжения на зажимах катушки индуктивности можно записать

Полученный результат показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на П/2.