1.1.5. Елементарні функції алгебри логіки

У математичній логіці елементарні функції відіграють таку саму важливу роль, як, наприклад, або у звичайній алгебрі.

Приклади елементарних функцій однієї змінної наведено в табл.1.2. У табл.1.3. подано 16 функцій двох змінних, з яких шість , , , , , , є константами або функціями одного аргументу. Інші 10 функцій залежать від двох аргументів і мають свої загальноприйняті позначення та назви, зазначені в табл.1.3.

Таблиця 1.3
Позначення функції	Найменування функції	а
		0	0	1	1
		b
		0	1	0	1
1	2	3	4	5	6
	Кон’юнкція (логічне множення)	0	0	0	1
Продовження таблиці 1.3
1	2	3	4	5	6
	Диз’юнкція (логічне додавання)0	0	1	1	1
	Імплікація (від до )	1	1	0	1
	Обернена імплікація (від до )	1	0	1	1
	Рівносильність	1	0	0	1
	Нерівносильність (додавання за модулем 2)	0	1	1	0
	Функція Шеффера (інверсія кон’юнкції)	1	1	1	0
	Функція стрілка Пірса – Вебба (інверсія диз’юнкції)	1	0	0	0
	Інверсія імплікації (функція заборони за )	0	0	1	0
	Інверсія оберненої імплікації (функція заборони за )	0	1	0	0
	Повторення а (змінна )	0	0	1	1
	Інверсія а	1	1	0	0
	Повторення (змінна )	0	1	0	1
	Інверсія	1	0	1	0
	Одинична функція (константа 1)	1	1	1	1
	Нульова функція (константа 0)	0	0	0	0

Розглянемо найважливіші функції від двох змінних.

Функція – кон’юнкція (логічне множення) істинна тоді і тільки тоді, коли і – істинні. Кон’юнкцію називають також функцією І; умовно її позначають .

Функція – диз’юнкція (логічне додавання) істинна тоді і тільки тоді, коли істинними є або , або , або обидві змінні. Диз’юнкцію часто називають також функцією АБО й умовно позначають так: .

Від диз’юнкції потрібно відрізняти функцію яка називається функцією додавання за модулем 2 (функцією нерівнозначності або різнойменності) і є істинною тоді і тільки тоді, коли істинні або , або окремо. Умовне позначення цієї функції .

Приклад 1.1. Маємо два висловлення: «Завтра буде холодна погода», «Завтра піде сніг», які розглядатимемо як булеві змінні і , тому що вони можуть бути істинними або хибними незалежно одне від одного. Диз’юнкція цих висловлень – нове висловлення «Завтра буде холодна погода, або піде сніг». З’єднувальний сполучник, що утворив нове висловлення, це сполучник АБО. Диз’юнкція буде істиною в трьох випадках:

1) істинне тільки перше висловлення;

2) істинне тільки друге висловлення;

3) істинні обидва висловлення одночасно.

Кон’юнкція утвориться таким чином: «Завтра буде холодна погода і піде сніг». Це висловлення утворено за допомогою сполучника І. Ця кон’юнкція буде істинною тільки за умови істинності обох аргументів (висловлень) одночасно.

Розглянемо результат виконання . Це висловлення „завтра буде холодна погода або завтра не буде холодна погода”. Побудуємо таблицю істинності (табл.1.4):

Таблиця 1.4
0	1	1
1	0	1

Висловлення „Завтра буде холодна погода або завтра не буде холодна погода” є за будь-яких значень змінної істинним.

Функція Шеффера (штрих Шеффера) – це функція , яка є хибною тоді і тільки тоді, коли і є істинними. Умовне позначення цієї функції .

Німецький математик Д.Шеффер на основі цієї функції створив алгебру, названу алгеброю Шеффера. Функція є універсальною (або складає повну систему функцій), тобто функцією, за допомогою якої можна представити будь-яку логічну функцію двох змінних. Але про це пізніше.

Функція стрілка Пірса-Вебба – це функція , що є істинною тоді і тільки тоді, коли і є хибними. Умовне позначення цієї функції .

Математики Ч.Пірс та Д.Вебб, які незалежно один від одного вивчали властивості цієї функції, створили алгебру, названу алгеброю Пірса – Вебба. Функція також є універсальною.

Імплікація – це функція яка є хибною тоді й тільки тоді, коли є істинним, а - хибним. Умовне позначення цієї функції .

Розглянути всі функції, що залежать від трьох аргументів, важко, оскільки їх число становить . Але всі вони зводяться до функцій двох змінних.