Вопрос22

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы   детерминант определяется как

Для матрицы   определитель задаётся рекурсивно:

,    где   — дополнительный минор к элементу a1j. Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы   такова:

= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):

Вопрос23

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

. Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если D = 0.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^-1, так что В = А^-1. Обратная матрица вычисляется по формуле

,                                              

Где а I j - алгебраические дополнения элементов a I j.

Вопрос24

Ранг матрицы

Определение: рангом матрицы А, называется максимальная система линейнонезависимых строк (столбцов) матрицы. Ранг матрицы по столбцам и по строкам совпадает

Алгоритм

Обозначения:

А - матрица, состоящая из n строк и k столбцов; A(i, j) - элемент матрицы, стоящий на i-ой строке, в j-ом столбце.

Алгоритм:

Основа алгоритма - цикл по всем элементам главной диагонали. Для квадратной матрицы размера n будет n итераций. Для прямоугольной матрицы, состоящей из n строк и k столбов, число итераций будет равно min(n, k). Пусть i - счетчик итераций.

Каждый проход цикла устроен следующим образом.

1. Если A(i, i) равен нулю, то в прямоугольнике (i, i, n, k) ищем ненулевой элемент. Если он не найден, то выходим из цикла. Если он найден, и его координаты (i2, j2), то меняем местами i-ую строку с i2-ой, и j-ый столбец с j2-ым. Делим i-ую строку матрицы на A(i, i). Таким образом A(i, i) теперь равен 1.

2. При помощи вычитания i-го столбца из всех столбцов стоящих правее, и i-ой строки из всех строк стоящих ниже, с определенными коэффициентами, зануляем все элементы вида А(i+1, i), A(i+2, i), ... A(n, i) и A(i, i+1), A(i, i+2), ... A(i, k).

3. Переходим к следующей итерации.

После цикла остается подсчитать сколько единиц стоит на главной диагонали. Их кол-во равно рангу. Если же их нет, то ранг равен 1.

Вопрос25 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

     Ненулевой вектор   называется собственным вектором линейного оператора  , если   (  для комплексного  ), такое, что   Число   называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

     Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор   имеет координатный столбец X, то  или 

     Собственные числа   линейного оператора   - корни характеристического уравнения  , где   - матрица оператора f,   - символ Кронекера.

     Для каждого собственного значения   соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения   или соответствующей ему системы линейных уравнений

     Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где   - соответствующие собственные значения.