Показники варіації

Поняття варіації ознаки, показники варіації, дисперсія альтернативної ознаки.

Спрощений спосіб розрахунку дисперсії. Види дисперсій у сукупності, розбитої на групи, правило додавання дисперсій

Здатність ознаки приймати різні значення називають варіацією ознаки. Для вимір варіації ознаки використовують різні узагальнюючі показники - абсолютні та відносні.

1. Розмах варіації - це різниця максимального і мінімального значень ознаки:

R = х_max - х_min.

2. Середнє лінійне відхилення - це середня з абсолютних значень відхилень ознаки від своєї середньої:

3. Середня з квадратів відхилень значень ознаки від середньої, тобто дисперсія:

Дисперсія як різниця між середнім квадратом та квадратом середньої:

або - проста

- зважена

Дисперсія можна обчислювати методом умовних моментів. Момент розподілу – це середня m відхилень значень ознаки від довільної величини А: якщо А = 0, тоді момент називається початковим; якщо А = , тоді моменти – центральними; якщо А = С, тоді моменти – умовними.

В залежності від показника степені К, в який піднесені відхилення (х – А)^к, моменти називаються моментами 1-го, 2-го и т.д. порядків.

Порядок розрахунку дисперсії методом умовних моментів („відліку від умовного нуля”):

1. Вибір умовного нуля С;

2. Перетворення фактичних значень ознаки х в спрощені х´ через відлік від умовного нуля С та зменшення в d раз:

3. Розрахунок 1-го умовного моменту:

4. Розрахунок 2-го умовного моменту:

5. Розрахунок початкового моменту 1-го порядку:

6. Дисперсія:

Середнє квадратичне відхилення розраховується з даних про дисперсію

Відносні величини варіації

1. Коефіцієнт осциляції відображає відносні коливання крайніх значень ознаки навколо середньої:

2. Відносне лінійне відхилення:

3. Коефіцієнт варіації:

4. Коефіцієнт асиметрії:

Види дисперсій та правило додавання дисперсій

А) Загальна дисперсія:

де - загальна середня усієї сукупності

Б) Міжгрупова дисперсія: ,

де - середня окремих груп

В) Середня внутрішньогруповых дисперсій

Загальна дисперсія дорівнює сумі з міжгрупової дисперсії та середньої внутрішньогрупової дисперсії:

Дисперсія альтернативної ознаки дорівнює добутку частки одиниць, яким притаманна дана досліджувана ознака та частки одиниць, яким не притаманна дана досліджувана ознака.

Ряди динаміки

Поняття про ряди динаміки, види рядів динаміки

Рядами динаміки називають статистичні дані, що відображають розвиток досліджуваного явища в часі. У кожному ряді динаміки наявні два основних елемента: показники часу (t) та відповідні їм рівні розвитку досліджуваного явища (y). Час в рядах динаміки вказують конкретними датами або періодами.

Рівні рядів динаміки відображають кількісну оцінку розвитку в часі досліджуваного явища.

Ряди динаміки бувають:

• в залежності від часу - моментні та інтервальні ряди.

• від форми представлення рівнів - ряди абсолютних, відносних і середніх величин.

• від відстані між датами - повні і неповні хронологічні ряди.

• від числа показників - ізольовані і комплексні ряди.

Моментні ряди динаміки відображають стан досліджуваних явищ на визначені дати (моменти) часу.

Інтервальні ряди динаміки відображають підсумки розвитку досліджуваних явищ за окремі періоди (інтервали) часу.

Повним ряд динаміки називають тоді, коли однойменні моменти або періоди часу строго слідують один за другим у календарному порядку або рівновіддалені один від іншого. Неповний - у якому рівні зафіксовані в нерівновіддалені моменти.

Щоби аналіз ряду був об'єктивний, необхідно враховувати події, які призводять до непорівнянності рівнів ряду і використовувати прийоми приведення рядів до порівнянного вигляду. Найбільш характерні випадки непорівнянності рівнів ряду динаміки:

• Територіальні зміни об'єкта дослідження, до якого відноситься досліджуваний показник.

• Різновеликі інтервали часу, до яких відноситься показник.

• Зміна дати обліку.

• Зміна методології чи обліку розрахунку показника.

• Зміна цін.

• Зміна одиниць виміру.

ПРИКЛАД

1982 1983 1984

22,0 22,3 22,8 - у старих границях району.

1985 1986 1987

34,2 34,3 34,4 - у нових границях району.

Для приведення ряду до порівнянного вигляду необхідно для 1984 року знайти чисельність населення в старих і нових границях району для визначення коефіцієнту перерахунку: К=34,2/22,8=1,5 Усі рівні ряду до 1984 року, збільшуються на коефіцієнт К і ряд приймає вигляд:

1982 1983 1984 1985 1986 1987

33,0 33,3 34,2 34,2 34,3 34,4

Після цього перетворення ряду динаміки можливий подальший аналіз ряду.

Абсолютний приріст – абсолютний показник, знайдений як різниця між досліджуваним рівнем ряду динаміки та рівнем, прийнятим за базу порівняння. Причому база порівняння може бути постійна (рівень за базовий період) або змінна (рівень за попередній період), відповідно абсолютні прирости можуть бути ланцюговими і базовими.

Темп зростання - відносний показник, знайдений як відношення рівня явища за досліджуваний період до рівня, прийнятого за базу порівняння. Відношення знайдене у відсотках – темп зростання, знайдене як коефіцієнт – коефіцієнт зростання. База порівняння може бути постійна (рівень за базовий період) або змінна (рівень за попередній період), відповідно темпи (коефіцієнти) зростання можуть бути базовими і ланцюговими.

Темп приросту - відносний показник, що показує на скільки відсотків один рівень ряду динаміки більший (чи менший) за інший, прийнятий за базу порівняння. Використовується для відносної оцінки абсолютних приростів. Обчислюється темп приросту як відношення абсолютного приросту до рівня явища, прийнятого за базу порівняння. Відношення знайдене у відсотках – темп приросту, знайдене як коефіцієнт – коефіцієнт приросту. База порівняння може бути постійна або змінна, відповідно темпи приросту (коефіцієнти) приросту можуть бути базовими і ланцюговими.

Якщо розділити абсолютний приріст (ланцюговий) на темп приросту (ланцюговий) за відповідний період, одержимо показник, який називають - абсолютне значення одного відсотка приросту.

Формули аналітичних показників рядів динаміки

Показники	Базовий	Ланцюговий
Абсолютний приріст	уi – у0	уi – уi-1
Коефіцієнт зростання (Кзр)	уi : у0	уi : уi-1
Темп зростання (Тзр)	(уi : у0) · 100	(уi : уi-1) · 100
Коефіцієнт приросту (Кпр)	Кзр – 1; уi – у0 у0 Δб : у0	Кзр – 1; уi – уi-1 уi-1 Δл : уi-1
Темп приросту (Тпр)	Кпр · 100 ; Тзр - 100	Кпр · 100 ; Тзр - 100
Абсолютне значення 1-го % приросту (1%А)	у0 : 100	уi-1 : 100; Δ : Тпр уi - уi-1 Тр - 100

Взаємозв’язок базових та ланцюгових коефіцієнтів зростання:

1. Базовий коефіцієнт зростання за досліджуваний період можна отримати з добутку всіх ланцюгових коефіцієнтів зростання від базового до періоду, що досліджується, наприклад: у₂/у₁ · у₃/у₂ · у₄/у₃ · у₅/у₄ = у₅/у₁

2. Ланцюговий коефіцієнт зростання за досліджуваний період можна отримати з відношення базового коефіцієнту зростання за досліджуваний період до базового коефіцієнту зростання за попередній період, наприклад: у₄/у₁ : у₃/у₁ = у₄/у₃

Середні аналітичні показники ряду динаміки

Середній рівень ряду динаміки

Узагальненою характеристикою рівнів ряду динаміки служить середній рівень ряду динаміки. У залежності від типу ряду динаміки використовуються різні розрахункові формули.

Якщо ряд динаміки моментний з однаковими проміжками часу між датами, тоді середній рівень ряду визначається як середня хронологічна:

Якщо ряд динаміки інтервальний і містить усі послідовні рівні, тоді середній рівень визначається як середня арифметична проста:

А якщо ряд динаміки з неоднаковими за величиною інтервалами між датами, тоді середній рівень обчислюється як середня арифметична зважена: , де t - час, протягом якого рівень не мінявся

Середній абсолютний приріст:

Середній темп зростання:

Середній темп приросту:

Вимірювання сезонності явищ.

Індекси сезонності. Побудова сезонної хвилі

1) Метод простих середніх:

а) визначається середня хронологічна для кожного місяця

б) середня хронологічна загальна:

в) індекс сезонності:

2) Метод порівняння фактичного та згладженого рівнів:

а) метод ковзни середньої:

б) метод аналітичного вирівнювання:

Коливання рівня ряду вимірюються середнім відхиленням індексу сезонності i_сез від 100%:

Середнє квадратичне відхилення

Вирівнювання рядів динаміки

Вирівнювання рядів динаміки проводять одним зі способів:

а) Механічне вирівнювання полягає в укрупненні інтервалу часу і розрахунку середньої хронологічної

б) Аналітичне вирівнювання - це опис тенденцій за допомогою підбору адекватної моделі, що представляє математичну функцію залежності середнього рівня від часу: За рівнянням прямої:

де a₀ та а₁ - параметри рівняння, які розраховуються на основі фактичних даних методом найменших квадратів

- умовний час, прийнятий від певної бази.

Вирівнювання можна проводити за параболою 2-го порядку: , а₀, а_1, а₂ - параметри, які визначають за допомогою системи рівнянь:

- якщо Σt = 0, тоді Σt³ = 0

Коли для вирівнювання застосовується показникова функція, тоді рівняння взаємозв’язку: Для знаходження параметрів такої моделі логарифмують праву та ліву частини рівняння:

Подальший розв’язок аналогічний вирівнюванню за прямою.

При виборі моделі можна керуватися наступними правилами

1. Якщо абсолютні прирости коливаються навколо постійної величини, доцільно використовувати модель прямої: ,

Δy = у_i - у_i-1; а₀ - база; а₁t - приріст.

2. Якщо прирости приростів (Δу₂ – Δу₁), тобто прискорення, коливається навколо постійної величини, тоді доцільно використовувати параболу 2-го порядку:,: де а₀ - база; а₁t - приріст; а₂t² - прискорення

3. У випадку приблизно однакових темпів зростання використовують модель показникової функції: - середній коефіцієнт зростання.

ПРИКЛАД 1.

Рік	Рівень
1991	40,6
1992	41,5
1993	49,5
1994	43,6
1995	39,2
1996	40,7
1997	38,2
1998	36,5
1999	38,0
2000	38,7
2001	39,4

Середня хронологічна:

Похідні показники ряду динаміки:

- абсолютний приріст, ланцюговий.

- абсолютний приріст, базовий.

- коефіцієнт зростання, базовий.

- коефіцієнт зростання, ланцюговий.

- коефіцієнт приросту

- абсолютне значення одного відсотка приросту.

Рік	Рівень		Темпи зростання %		Темпи приросту %		А1%
			Базові	Ланцюгові	Базові	Ланцюгові
1991	40,6	-	100,00	-	-	-	-
1992	41,5	0,9	102,22	102,22	2,22	2,22	0,406
1993	49,5	8,0	121,92	119,28	21,92	19,28	0,415
1994	43,6	-5,9	107,39	88,08	7,39	-11,92	0,495
1995	39,2	-4,4	96,55	89,91	-3,45	-10,09	0,436
1996	40,7	1,5	100,25	103,83	0,25	3,83	0,392
1997	38,2	-2,5	94,09	93,86	-5,91	-6,14	0,407
1998	36,5	-1,7	89,90	95,55	-10,10	-4,45	0,382
1999	38,0	1,5	93,60	104,12	-6,40	4,11	0,365
2000	38,7	0,7	95,32	101,84	-4,680	1,84	0,38
2001	39,4	0,7	97,04	101,81	-2,96	1,82	0,387

Взаємозв’язок ланцюгових і базових коефіцієнтів зростання:

1. Добуток послідовних ланцюгових коефіцієнтів дорівнює базовому коефіцієнту:

и т. д.

2. Ланцюговий індекс можна отримати з відношення базового коефіцієнта за досліджуваний період до базового коефіцієнта за попередній період.

и т. д.

Середній абсолютний приріст:

Середній річний коефіцієнт зростання обчислюється за формулою середньої геометричної:

1)

2)

3)

Індекси