- •Производная
- •1.1. Определение производной
- •Правила дифференцирования
- •1.2. Дифференцирование неявных функций
- •1.3. Логарифмическое дифференцирование
- •1.4. Производные высших порядков
- •1.5. Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •1.6. Уравнение касательной к нормали
- •2. Исследование поведения функций
- •2.1. Возрастание и убывание функции
- •2.2. Максимум и минимум функций
- •2.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
- •2.4. Асимптоты
- •3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •4. Правило лопиталя
- •Задания к контрольной работе № 2
- •Первообразная и неопределенный интеграл
- •Свойства интегралов
- •Методы интегрирования
- •1. Непосредственное интегрирование
- •2. Метод замены переменной (подстановки)
- •3. Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •1. Простейшие дроби, их интегрирование к простейшим дробям относятся дроби вида:
- •2. Правильные и неправильные рациональные дроби
- •3. Разложение правильной дроби
- •4. Нахождение коэффициентов
- •5. Правило интегрирования рациональных дробей
- •Интегрирование некоторых иррациональностей
- •Интегрирование тригонометрических выражений
- •Определенный и несобственный интегралы, их вычисление
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Задачи к контрольной работе № 3
Интегрирование некоторых иррациональностей
Основным методом решения интегралов от иррациональных выражений является метод замены переменной.
Цель замены – преобразовать данное иррациональное выражение к рациональной дроби.
-
сводится к ,
предварительно необходимо выделить полный квадрат под знаком корня, сделать замену и проинтегрировать по таблице интегралов, 10 и 12.
Пример 29.
.
2. .
-
Сделать в числителе производную подкоренного выражения.
-
Разбить на два интеграла, один из которых степенной, а другой вида (1).
Пример 30.
.
3. подстановка ,
– наименьший общий знаменатель дробей и .
Пример 31.
Здесь роль играет , ; ; , наименьший общий знаменатель этих дробей , следовательно, подстановка , вычислим
.
4. , ;
, ;
, .
5. – дифференциальный бином интегрируется в трех случаях:
1) – целое, – интегрируется непосредственно,
– подстановка , где – общий знаменатель дробей
и ;
2) – целое (, , ) подстановка , где – знаменатель
дроби ;
3) – целое (, ,) подстановка .
Пример 32.
.
Интегрирование тригонометрических выражений
1. решается универсальной подстановкой , , ; .
Пример 33.
.
В некоторых случаях полезнее использовать подстановки, которые дают лучший результат, чем при использовании универсальной подстановки.
2. Если в подынтегральном выражении при замене на и на функция не меняет своего знака, т. е. если
,
то применяют подстановку .
Пример 34.
.
3. Если , т. е. при замене на подынтегральная функция меняет знак, то подстановка .
Пример 35.
.
4. Если , т. е. при замене на подынтегральная функция меняет знак, то подстановка .
Пример 36. .
5. ; при – четном, ;
; при – нечетном по правилу 3 или 4.
Пример 37.
.
Пример38. .
Пример 39.
.
6. ,
,
.
Пример40
.
Определенный и несобственный интегралы, их вычисление
Если 1) и конечны;
2) непрерывна на и имеет первообразную , то определенный интеграл выражается конечным числом и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:
. (21)
Пример 41. .
Интегралы а) ; б) ; в)
относятся к несобственным интегралам I-го рода, т. к. для них не выполнено условие (1), а именно: один из пределов интегрирования (случая а) и б) ) или оба (случай в)) не являются конечными, а условие (2) выполнено. Вычисление таких интегралов можно проводить по формуле (21), при этом считается как предельное значение, которое может быть конечным, бесконечным или не иметь смысла.
Пример 42. .
Пример 43.
.
Пример 44. .
Если в результате вычислений получили конечное число, то несобственный интеграл называется сходящимся (примеры 52, 53), в противном случае интеграл расходится (пример 51).
Те интегралы , для которых не выполняется условие (2), а условие (1) выполнено, относятся к несобственным интегралам II-го рода. имеет бесконечный разрыв в одной или нескольких точках.
Вычисление несобственных интегралов II-го рода и определение их сходимости или расходимости можно проводить по формуле Ньютона-Лейбница, определив точки бесконечного разрыва.
Пример 45. ; ; эта функция имеет бесконечный разрыв на в точке , т. к. .
, интеграл сходится.
Пример 46. ; имеет бесконечный разрыв на в точке , т. к. .
, интеграл расходится.
Пример 47. ; имеет бесконечный разрыв в точке , которая принадлежит . В этом случае данный интеграл разбиваем на два интеграла точкой разрыва:
, интеграл сходится.