6.Кольца, тела и поля

Алгебра вида (М, +,  ), которая по «сложению» является абелевой группой, а по «умножению» полугруппой, называется кольцом, если оба действия связаны законом дистрибутивности.

Таким образом, кольцо – это непустое множество, на котором определены действия типа сложения и умножения со свойствами:

а) сложение ассоциативно, обратимо и коммутативно, а также неограниченно применимо на М;

б) умножение неограниченно применимо и ассоциативно на М;

в) оба действия связаны соотношением: для любых x, y и z из М следует (x+y)z=xz+yz и z(x+y)=zx+zy – двусторонняя дистрибутивность «умножения» относительно «сложения».

Множество М, рассматриваемое по отношению к «сложению», называется аддитивной группой кольца.

Кольцо называется коммутативным, если «умножение» на М коммутативно.

Нейтральный элемент аддитивной группы кольца называется нулем кольца и обозначается 0_K.

Таким образом, для любого элемента x из М следует: x+0_K= 0_K+x = x и x+(‑x)= (‑x)+x=0_K. При этом для каждого элемента x из М и любого натурального числа n определен n‑кратный элемент nx=, 0‑кратный определяется как 0x=0_K., а обратный к n‑кратному: ‑(nx)=n(‑x).

Свойства кольца, связанные с действием «умножения»:

1) Для любого элемента хM следует х0_K= 0_Kх=0_K.

2) Из предыдущего также следует, что действие «умножения» в кольце необратимо, за исключением лишь случая, когда кольцо состоит из одного лишь элемента 0_K. Действительно, ни при каком zM для х0_K не имеет места ни z0_K= х, ни 0_Kz=x.

Элементы x, yM такие, что х0_K и y0_K и xy=0_K называются делителями нуля. Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности.

Делители нуля в кольце всегда необратимы.

Если кольцо обладает нейтральным элементом по умножению, не совпадающим с нулем кольца, то оно называется кольцом с единицей.

Подмножество I кольца М называется его двусторонним идеалом, если оно само является кольцом относительно действий на М, и если для любого элемента х из М и для любого yI следует: xyI и yxI, т.е. правый и левый классы смежности относительно I являются подмножествами I.

Так множество четных чисел является идеалом кольца целых чисел. И вообще множество чисел, кратных любому целому числу k, является идеалом кольца целых чисел.

Примеры:

1) (ℤ, +, ) – коммутативное кольцо целых чисел, являющееся областью целостности. По сложению – абелева группа, по умножению – абелева полугруппа. Умножение дистрибутивно относительно сложения.

2) Множества ℚ, ℝ, ℂ образуют кольца по сложению и умножению.

3) Множество четных чисел, а также множество целых чисел, кратных произвольному целому числу а: {…, ‑na,…,‑2a, ‑a, 0, a, 2a,…,na,…} – является коммутативным кольцом относительно обычных действий сложения и умножения.

4) Алгебраические системы (ℕ, +, ) и (ℚ^>0, +, ) кольцами не являются.

5) Множество многочленов а₀+а₁х+ а₂х²++ а_nхⁿ с коэффициентами из некоторого кольца является кольцом относительно почленного сложения и почленного умножения многочленов.

Кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент имеет обратный по умножению, называется телом.

Из последнего определения и теоремы о полугруппе ненулевые элементы тела образуют группу, которая называется мультипликативной группой тела. Таким образом, тело объединяет в себе сразу две группы: абелеву аддитивную группу и мультипликативную группу.

Коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент имеет обратный, называется полем. Таким образом, поле – это тело с коммутативным умножением. Аналогичным образом вводится понятие мультипликативной группы поля – это множество ненулевых элементов поля, которые образуют абелеву группу по умножению.

Примеры:

1) ℚ, ℝ, ℂ – образуют поля относительно обычного сложения и умножения. ℤ – поля не образует, т.к. относительно умножения никакие элементы, кроме «+1» и «‑1», не имеют обратных. Но ℤ образует область целостности, т.к. нет делителей нуля, т.е. из равенства ab=0 следует: либо а=0, либо b=0.

2) Множество квадратных невырожденных матриц фиксированного размера с вещественными элементами относительно операций сложения и умножения матриц образует тело.

3) Кольцо классов вычетов ℤ_p является полем, если p – простое число. Оно называется полем вычетов по модулю p. Легко показать, что у каждого ненулевого элемента имеется обратный. Например, в поле ℤ₇ обратными друг к другу являются элементы: K₁ и K₁, K₂ и K₄, K₃ и K₅, K₆ и K₆.

ℤ_p – простейший пример конечного поля. Конечные поля называют полями Галуа и обозначают GF(p). Свойства полей Галуа используются в теории кодирования. Одним из важнейших таких свойств является то, что мультипликативная группа поля Галуа является циклической группой порядка (p‑1). Порождающий элемент этой группы называется примитивным. Так в поле GF(7) примитивным элементом является класс K₃. Действительно, K₃⁰=K₁, K₃²=K₂, K₃³=K₆, K₃⁴=K₄, K₃⁵=K₅, K₃⁶=K₁, таким образом, степени элемента K₃ исчерпывают все ненулевые элементы ℤ₇. Заметим, что класс K₂ не является примитивным элементом в ℤ₇, т.к. среди его степеней нет, например, класса K₃. Тогда как в полях GF(3), GF(5), GF(11) и т.д. класс K₂ – примитивный элемент.