5.6. Расстояния

Пусть G – связный неориентированный граф. Так как любые две вершины а и b связаны, существуют простые цепи S(a,b) с концами а и b. Длины этих простых цепей являются неотрицательными целыми числами. Следовательно, между а и b должны существовать цепи наименьшей длины. Эта наименьшая длина называется расстоянием d(a,b) между a и b. Положим, по определению, d(a,а)=0. Легко видеть, что эта описывающая расстояние функция удовлетворяет аксиомам метрики:

d(a,b) ≥ 0;

d(a,b) = 0 тогда и только тогда, когда а = b;

d(a,b) = d(b,a);

d(a,b) + d(b,c) ≥ d(a,с) для попарно неравных a, b, c. (5.11)

6. Элементы теории измерений и проблематика нормировки значений признаков

При написании этого раздела автором использовались, главным образом, широко известная работа Супеса и Зинеса (1967), а также монографии Афанасьева и Красавчикова (1986) и Манделя (1988).

6.1. Основные типы шкал

Если отношения определены на парах объектов, то признаком называют обычно некоторое свойство, измеренное на каждом объекте.

Очень часто отношения существуют, но измеримые признаки им не отвечают. Таково отношение толерантности, о котором говорилось в разделе 5.2: ему нельзя поставить в соответствие признак, определенный на каждом объекте.

Рассмотрим способы измерения признаков. Обычно под процедурой измерения какого-либо свойства подразумевается приписывание некоторых числовых значений отдельным уровням этого свойства в определенных единицах. При этом важно знать, в какой мере условность в выборе единиц измерения повлияет на значение показателя. Например, если толщину горизонта в скважине измерить сначала в метрах, а потом – в километрах, то изменится лишь число единиц измерения, но суть показателя останется прежней. Здесь, таким образом, допустимо произвольно делить или умножать значения признака на константу, т. е. задавать масштаб. В то же время, толщина не может быть нулевой или отрицательной.

Признакам можно присвоить тип в соответствии с множеством допустимых преобразований f(x) их значений. Разные типы признаков имеют разные множество допустимых преобразований, которые и определяют тип шкалы. Наиболее распространенные типы шкал и их допустимые преобразования (в соответствии с работой Супеса и Зинеса (1967)) приведены в табл. 6.1. В столбце 4 табл. 6.1 приведены примеры конкретных признаков, замеренных в соответствующих шкалах..

Для номинальной шкалы f(x) означает, что разные классы мы можем называть как угодно – «нефть – газ – уголь», А – В – С – D, 0 – 1 и т. д., но не сравнивать их по величине признака. Единственное, что запрещено, так это коллизия имён, когда двум различным объектам в процессе преобразования присваиваются одинаковые имена (этот запрет вытекает из требования взаимной однозначности допустимого преобразования).

Прежде чем перейти к рассмотрению ранговых шкал, напомним, что:

- монотонно убывающим называется отображение, заданное на линейно упорядоченном множестве V, для которого при любых a, b из V отношение a<b влечёт f(a)>f(b);

- монотонно невозрастающим называется отображение, заданное на (нестрого) линейно упорядоченном множестве V, для которого при любых a, b из V отношение a≤b влечёт f(a)≥f(b);

- монотонно возрастающим называется отображение, заданное на линейно упорядоченном множестве V, для которого при любых a, b из V отношение a<b влечёт f(a)<f(b);

- монотонно неубывающим называется отображениезаданное на (нестрого) линейно упорядоченном множестве V, для которого при любых a, b из V отношение a≤b влечёт f(a) ≤f(b). Таким образом, допустимыми преобразованиями ранговых шкал (см. табл. 6.1) являются отображения, сохраняющие порядок.

Балльные шкалы используются при математическом моделировании объектов в нефтегазоносных бассейнах сравнительно редко, в основном, при экспертном оценивании малоизученных территорий и горизонтов. За пределами науки к числу наиболее известных их применений относится балльное оценивание выступлений спортсменов – типичный пример экспертного оценивания.

При измерении глубины залегания глубокопогруженных геологических поверхностей могут быть отрицательные, нулевые и положительные значения. Точку отсчёта можно изменять. При подсчёте пройденных бурением метров уместно использовать в качестве точки отсчёта пересечение ствола скважины с земной поверхностью, тогда как структурные карты строить в абсолютных отметках. Таким образом, в данном случае измерение производится в шкале интервалов.

Толщины горизонтов могут быть только положительными и у них есть единственная точка отсчёта – условная нулевая толщина, которая является, в данном случае, точной нижней границей множества значений измеряемого признака. Возможен выбор единицы измерения. В данном случае измерение производится в шкале отношений.