- •Определение 4
- •Теорема 2
- •Теорема 5
- •Теорема 6
- •Теорема 7
- •Теорема 8
- •Определение 19
- •Теорема 9
- •Теорема 13 (о базисе в пространстве, на плоскости, на прямой)
- •Теорема 14
- •Теорема 18 (критерий коллинеарности)
- •Определение 39
- •Теорема 19 (критерий компланарности)
- •Определители Определение 40
- •Преобразование аффинной системы координат на плоскости
- •Определение 50
- •Различные способы задания прямой на плоскости
- •1) Нахождение угла между прямыми
- •2) Расстояние от точки до прямой
- •Плоскость в пространстве Определение 51
- •Теорема 23
- •Способы задания плоскости в пространстве
- •Определение 52
- •Прямая в пространстве
- •Определение 53
- •Определение 54
- •Определение 55
- •Кривые второго порядка Эллипс Определение 56
- •Определение 57
- •Определение 58
- •Свойства эллипса
- •Определение 59
- •Определение 60
- •Определение 61
- •Эксцентриситет и директриса
- •Определение 62
- •Определение 63
- •Уравнение эллипса в полярных координатах
- •Гипербола Определение 64
- •Определение 65
- •Свойства гиперболы
- •Определение 66
- •Определение 67
- •Определение 68
- •Полярное уравнение гиперболы
- •Парабола Определение 69
- •1 Случай
- •2 Случай
- •Теорема 25
- •Теорема 26
- •Цилиндрические поверхности Определение 79
- •Конические поверхности Определение 80
- •Определение 81
Преобразование аффинной системы координат на плоскости
Пусть на плоскости заданы две системы координат и . Для любого вектора верно равенство . Так как - базис, то существуют числа , такие что . Если координаты точки в системе координат равны , а в системе координат равны , то они связаны соотношением . Обозначим координаты вектора в базисе через . Тогда В силу единственности координат
Если у нас есть две декартовые системы координат и , то коэффициенты могут быть вычислены по формулам:
Пример.
Поворот декартовой системы координат на угол (поворот против часовой стрелки).
Тогда
Координаты точки в системе координат выражаются через координаты точки в системе координат так:
Пример.
Сдвиг системы координат (параллельный перенос).
, где - координаты точки в системе координат .
Пример.
Отражение системы координат симметрично оси вектора .
Общий случай поворота со сдвигом.
Общий случай поворота, с отражением и сдвигом.
Из полученных формул можно выразить координаты точки в системе координат через координаты в системе координат . Пусть
Кривые и поверхности на плоскости и в пространстве
Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартовая система координат.
Определение 41
Будем говорить, что уравнение задает линию , если для с координатами выполняется равенство и для с координатами выполняется неравенство .
Определение 42
Будем говорить, что уравнение задает поверхность в пространстве, если для с координатами выполняется равенство и для с координатами выполняется неравенство .
Определение 43
Будем говорить, что система уравнений задает линию в пространстве, если с координатами выполняется и для с координатами выполняется .
Примеры.
(уравнение окружности на плоскости) (уравнение сферы в пространстве) (уравнение цилиндра в пространстве) (уравнение окружности в пространстве)
Определение 44
Будем говорить, что линия на плоскости задана параметрически, если в некоторой декартовой системе координат координаты точек заданы уравнением .
Определение 45
Будем говорить, что поверхность в пространстве задана параметрически, если в некоторой декартовой системе координат координаты точек поверхности заданы уравнениями
Примеры.
Окружность радиуса с центром в начале координат:
Сфера радиуса 3 с центром в точке :
Определение 46
Линия на плоскости называется алгебраической, если в некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим уравнением, т.е. уравнением вида , где
Определение 47
Порядком алгебраической линии на плоскости называется порядок алгебраического уравнения задающего данную линию, т.е. , где .
Пример
Линия, задаваемая уравнением имеет порядок 3. Линия, задаваемая уравнением имеет порядок 2.
Определение 48
Поверхность в пространстве называется алгебраической, если в некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим уравнением, т.е. уравнением вида , где
Определение 48
Порядком алгебраической поверхности в пространстве называется порядок алгебраического уравнения задающего данную поверхность, т.е. , где .
Теорема 20 (об инвариантности порядка алгебраической линии на плоскости)
Если алгебраическая линия в одной декартовой системе координат имеет порядок , то и в другой декартовой системе координат она может быть задана алгебраическим уравнением порядка .
Доказательство.
Пусть в первой системе координат линия задается уравнением
, и пусть координаты в новой системе координат связаны с исходными . Подставляем эти формулы в алгебраическое уравнение:
После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим алгебраическое уравнение порядка . Подставляя в полученное уравнение выражения координат через и получим исходное уравнение порядка . Таким образом .
Замечание.
Алгебраическую линию в одной и той же системе координат можно задать различными алгебраическими уравнениями: и .
Теорема 21 (об инвариантности порядка алгебраической поверхности в пространстве)
Если алгебраическая поверхность имеет в декартовой системе координат порядок , то и в другой декартовой системе координат данная поверхность может быть задана алгебраическим уравнением порядка .
Прямая на плоскости и плоскость в пространстве
Рассмотрим на плоскости декартову систему координат. Базисные вектора буем обозначать и , начало координат . Координаты точек будем обозначать и .
Определение 49
Множеством точек таких, что вектор ортогонален вектору называется прямой, проходящей через точку , ортогональной вектору . .
В декартовой системе координат для точки с координатами , точки с координатами и вектора уравнение прямой можно записать:
Теорема 22
1) Если - линия на плоскости и в некоторой декартовой системе координат она задается уравнением , где , то - прямая, ортогональная вектору . 2) Любая прямая может быть задана в декартовой системе координат уравнением вида , где .
Доказательство.
1) Пусть прямая задана уравнением , . Будем считать, что . Рассмотрим точку с координатами . Тогда для всех точек с координатами , удовлетворяющих уравнению выполняется , где .
2) См. Вывод уравнения прямой, ортогональной заданному вектору.