- •Арифметические и логические основы вычислительной техники учебное пособие
- •Введение
- •Арифметические основы вычислительной техники Системы счисления
- •Двоичная система счисления
- •Восьмеричная система счисления
- •Шестнадцатеричная система счисления
- •Критерии выбора системы счисления
- •Перевод чисел из одной системы счисления в другую
- •Перевод целых чисел.
- •Перевод правильных дробей.
- •Перевод чисел из системы счисления в систему счисления основания которых кратны степени 2
- •Кодирование чисел
- •Переполнение разрядной сетки
- •Модифицированные коды
- •Машинные формы представления чисел.
- •Погрешность выполнения арифметических операций
- •Округление
- •Нормализация чисел
- •Последовательное и параллельное сложение чисел
- •Сложение чисел с плавающей запятой
- •Машинные методы умножения чисел в прямых кодах
- •Ускорение операции умножения
- •Умножение с хранением переносов
- •Умножение на два разряда множителя одновременно.
- •Умножение на четыре разряда одновременно.
- •Умножение в дополнительных кодах.
- •Умножение на 2 разряда Мт в дополнительных кодах.
- •Матричные методы умножения.
- •Машинные методы деления
- •Деление чисел в прямых кодах.
- •Деление чисел в дополнительных кодах.
- •Методы ускорения деления.
- •Двоично-десятичные коды
- •Суммирование чисел с одинаковыми знаками в коде 8421.
- •Сложение чисел с разными знаками.
- •Двоично-десятичные коды с избытком 3
- •Код с избытком 6 для одного из слагаемых
- •Система счисления в остаточных классах (сок)
- •Представление отрицательных чисел в сок
- •Контроль работы цифрового автомата
- •Некоторые понятия теории кодирования
- •Обнаружение и исправление одиночных ошибок путем использования дополнительных разрядов
- •Коды Хемминга
- •Логические основы вычислительной техники Двоичные переменные и булевы функции
- •Способы задания булевых функций
- •Основные понятия алгебры логики
- •Основные законы алгебры логики
- •Формы представления функций алгебры логики
- •Системы функций алгебры логики
- •Минимизация фал
- •Метод Квайна
- •Метод Блейка - Порецкого
- •Метод минимизирующих карт Карно (Вейча)
- •Минимизация коньюнктивных нормальных форм.
- •Минимизация не полностью определенных фал
- •Кубическое задание функций алгебры логики.
- •Метод Квайна-Мак Класки
- •Алгоритм извлечения (Рота)
- •Минимизация фал методом преобразования логических выражений
- •Применение правил и законов алгебры логики к синтезу некоторых цифровых устройств Синтез одноразрядного полного комбинационного сумматора
- •Синтез одноразрядного комбинационного полусумматора
- •Синтез одноразрядного полного комбинационного сумматора на двух полусумматорах
- •Синтез одноразрядного комбинационного вычитателя
- •Объединенная схема одноразрядного комбинационного сумматора-вычитателя
- •Триггер со счетным входом как полный одноразрядный сумматор
- •Введение в теорию конечных автоматов Основные понятия теории автоматов
- •Способы задания автоматов
- •Структурный автомат
- •Память автомата
- •Канонический метод синтеза
- •Пример синтеза мпа Мили по гса
- •Синхронизация автоматов
- •Литература
- •220013, Минск, п.Бровки, 6.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Так как числа, участвующие в операциях, могут быть представлены в различных позиционных системах счисления, то для выполнения действий над ними требуется привести их к одной системе счисления. Необходимо отметить, что целая и дробная части числа переводятся отдельно. Следовательно все методы перевода чисел можно подразделить на две группы: перевода целых и дробных чисел.
Перевод целых чисел.
Метод подбора степеней основания. В соответствии с (2) целые числа в системах счисления с основаниями r1 и r2 могут быть представлены:
n k
A r1 = ai r1i = bj r2j = A r2 ,
i=0 j=0
В общем случае перевод числа из системы счисления с основанием r1 в систему счисления с основанием r2 можно представить как задачу определения коэффициентов bi нового ряда, изображающего число в системе счисления с основанием r2. Основная трудность в выборе максимальной степени основания r2, которая еще содержится в числе Ar1. Все действия должны выполняться по правилам r1-арифметики (то есть исходной системы счисления). После нахождения максимальной степени и соответствующего ей коэффициента необходимо найти коэффициенты для всех остальных (младших) степеней.
Пример: A10=37 , A2=?
37=1·25 + 0 ·24 + 0 ·23 + 1·22 + 0 ·21 + 1·20=100101
Нечетным двоичным числом 100101 является число, содержащее единицу в младшем разряде.
Метод деления на основание системы счисления. На основании (1) число Ar1 в системе счисления с основанием r2 запишется в виде:
Ar2 = an· r2n + an-1 ·r2n-1 + ... + a1· r21 + a0·r0.
Переписав это выражение по схеме Горнера, получим:
Ar2 = (...(an r2 + an-1) r2 + ... + a1) r2 + a0.
Разделив правую часть на r2, получим первый остаток a0 и целую часть
(...(an r2 + an-1) r2 + ... + a1). Разделив целую часть на r2, получим остаток a1 и новую целую часть. Выполнив деление n+1 раз, получим последнее целое частное an < r2, являющееся старшей цифрой числа.
Пример А10 = 37 ; A2 = ?; А5=?
Перевод правильных дробей.
Метод подбора величин, обратных степеням основания.
A10 =0,716
А2 =0,1011...
Количество разрядов после запятой зависит от точности, с которой требуется представить число.
Метод умножения на основание r2 новой системы счисления. Из выражения (1) дробное число Ar1 в системе счисления с основанием r2 запишется в виде
Ar2 = a-1 r2-1 + ... + a-n r2-n.
Переписав это выражение по схеме Горнера, получим:
Ar2 = r2-1 (a-1 + r2-1 (a-2 + ... + a-n r2-1)...).
Умножив правую часть на r2, получим новую неправильную дробь, целая часть которой есть a-1 (старшая цифра числа Ar2). Продолжим процесс умножения дробной части на r2 n-1 раз, получим цифры a-2, a-3, . . . числа Ar2.
Процесс умножения может быть прекращен, если во всех разрядах после очередного умножения получены нули, либо достигнута требуемая точность.
Пример A10=0,673 A2=? A16=?
Для перевода неправильных дробей отдельно выделяется целая и дробная части числа и, используя соответствующие методы, выполняется их перевод. Результаты записываются в виде новой неправильной дроби.