2.2. Волновые уравнения и волновой характер электромагнитного поля

2.2.1. Однородные волновые уравнения

Перемещающееся электромагнитное поле называется электромагнитной волной. Действительно, электромагнитное поле, возникающее в некоторой области пространства, не заполняет его мгновенно, а распространяется с конечной скоростью, зависящей от свойств среды [1-6]. При распространении поля периодического процесса с конечной скоростью происходит его запаздывание по фазе, следствием этого является волновой характер распространения. Запишем первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме , при этом считаем, что среда однородная, изотропная и линейная

∂ Е

rot Н = σ Е + ε —— . (2.11)

∂ t

Применив операцию rot над уравнением (2.11), получится

∂

rot rot H = σ rot E + ε —— rot E , (2.12)

∂ t

∂ Н

где rot rot H = grad div H ─ ▼² Н и rot E = ─ μ ―― , (2.13)

∂ t

причем grad div = 0.

Подставив выражение (2.13) в выражение (2.12) можно получить волновое уравнение для составляющей вектора Н

∂ Н ∂ ² Н

─ ▼² Н + σ μ ―― + ε μ ―― = 0. (2.14)

∂ t ∂ t ²

Поменяв знак в волновом уравнении (2.14), составленном для вектора Н, с одновременным использованием принципа перестановочной двойственности, система волновых уравнений представится

∂ Н ∂ ² Н

▼² Н ─ σ μ —— ─ ε μ —— = 0;

∂ t ∂ t ²

(2.15)

∂ Е ∂ ² Е

▼² Е ─ σ _м ε —— ─ ε μ ―― = 0.

∂ t ∂ t ²

Система уравнений (2.15) представляет неоднородные волновые уравнения, записанные для составляющих векторов Е и Н электромагнитного поля. Причем, по замене, во втором уравнении присутствует магнитная проводимость среды, которая всегда равна нулю, σ_м = 0.

Для практического использования интересны волновые уравнения для воздушной среды, в которой σ = 0. Запишем уравнения для воздуха

∂ ² Н

▼² Н ─ ε μ ―― = 0;

∂ t ²

∂ ² Е (2.16)

▼² Е ─ ε μ —— = 0.

∂ t ²

Система (2.16) представляет однородные волновые уравнения для составляющих поля в воздушной среде. Сравнивая системы (2.15) и (2.16), следует заметить, что в средах, где σ ≠ 0 , происходит потеря энергии поля при распространении волны. Как следствие, электромагнитная волна будет затухать. В воздушной среде затухание волн будет определяться также наличием проводимости за счет присутствия в ней водяных паров и взвесей.

В случае гармонически изменяющегося электромагнитного поля система преобразится к виду, достаточно простому и ясному для физического понимания.

Пусть N = N e ^{jω t}, причем N есть любой из векторов Е или Н

∂ ² N

▼² N ─ ε μ ―― = ▼²N + ω² ε μ N = 0. (2.17)

∂ t ²

Если заменить N в выражении (2.17) на Е и Н, то получатся однородные волновые уравнения, описывающие электромагнитные поля гармонических колебаний

▼² Н + ω ² ε μ Н = 0;

▼² Е + ω ² ε μ Е = 0. (2.18)

Известно, что ω √ ε μ = к - есть волновое число, и выражения преобразятся к следующему виду:

▼² Н + к ² Н = 0;

▼² Е + к ² Е = 0. (2.19)

Уравнения (2.19) получили название уравнений ГЕЛЬМГОЛЬЦА.

2.2.2. Волновой характер электромагнитного поля

В левой части выражения (2.17)

∂ ² N

▼² N ─ εμ ―― = 0. (2.20)

∂ t ²

Скорость распространения υ электромагнитных волн зависит от параметров среды ε и μ . Эта зависимость устанавливается следующим выражением:

υ = 1 / √ ε μ . (2.21)

После преобразования выражения (2.20) с учетом выражения (2.21)

получается 1 ∂ ² N

▼² N ─ ―― ―― = 0. (2.22)

υ ² ∂ t ²

Выражение (2.22) описывает волновые процессы не только электромагнитной природы, но и упругие колебания. Такими колебаниями являются относительные смещения точек струны. В прямоугольной системе координат такое смещение происходит вдоль координаты х, но в выражении (2.22) присутствуют все координаты как это видно

∂ ² ∂ ² ∂ ²

▼² = ―― + ―― + ―― .

∂ х ² ∂ у ² ∂ z ²

Если проекции N _y = N _z = 0, а проекция вдоль х не равна нулю, то есть

N _x ≠ 0, то выражение (2.22) примет следующий вид:

∂ ² Ν 1 ∂ ² N

―― ─ ―― ―― = 0 . (2.23)

∂ х ² υ ² ∂ t ²

Это волновое уравнение описывает процесс смещения колеблющихся точек вдоль струны. Общим решением, известным под названием РЕШЕНИЯ ДАЛАМБЕРА, является

N (х, t) = N ₁ (t – x / υ ) + Ν ₂ ( t + x / υ ). (2.24)

Каждое из двух частных решений, входящих в выражение (2.24), представляет волновую функцию или волну, состоящую из так называемой падающей N ₁ и отраженной N ₂. Интерес представляет первое частное решение N ₁(t – x/υ).

Анализ показывает:

- что можно на оси Х найти такие точки Х_1, Х₂ и т.д. для моментов времени t_1, t₂ и т.д., в которых значение функции N (х,t) равнялось бы значению этой функции в точке Х₀ в момент t₀;

- что промежуток времени ∆t = t₁ – t₀ = t₂ – t₁, пропорциональный расстоянию ∆x = Х ₁ – Х ₀ = Х ₂ – Х ₁ между точками, в которых функция принимает равные значения, то есть значения функции как бы движутся в положительном направлении оси Х со скоростью

∆ x 1

υ = ―― = ―― . (2.25)

∆ t √ ε μ

Причем, промежуток времени ∆t есть время, затраченное полем на преодоление расстояния ∆x. Это время запаздывания t _зап фазы поля при распространении определится

∆ х

∆t = ―― = t _зап . (2.26)

υ

Таким образом, представленные выражениями (2.15), (2.16) и (2.19) -волновые уравнения, описывают движущееся электромагнитное поле.

В практике радиосвязи большое значение имеет определение закономерностей пространственного распределения амплитуды и фазы электромагнитного поля. Для этого пользуются понятием волновая поверхность или фронт волны. Поверхность, на которой волновая функция в заданный момент времени принимает одинаковые значения, называется волновой поверхностью.

Ниже приведено уравнение (2.20), решением которого является

N (х,у,z,t) = N _м e ^{–j ( ω t -- к r)}, (2.27)

где - -- расстояние до точки М (хуz) пройденное полем;

- – волновое число;

- N _м - мгновенное значение падающей волны N(x,y,z,t) ;

- ω t - к r = ω ( t – r / υ) - полная фаза колебаний.

В каждое мгновение двигающееся поле, как ранее указывалось, образует поверхность равных значений аргумента функции, или равной фазы волновой функции N _м = const . (2.28)

При решении электродинамических задач наибольший интерес представляет форма или вид волны. При этом плоскости равных фаз образуют плоскую, цилиндрическую и сферическую поверхности в зависимости от того, как N _м зависит от расстояния:

- если амплитуда N _м не зависит от пройденного полем расстояния r, то эта волна называется плоской;

- если амплитуда N _м уменьшается по закону (1/ r), то образуется сферическая волна;

- если амплитуда N _м уменьшается по закону (), то образуется цилиндрическая волна.

Графическое отображение изменения амплитуды N _м в зависимости от расстояния r, пройденного полем, показано на рисунке 2.9.

N _м

Амплитуда плоской волны

^1.0

Амплитуда цилиндрической волны

Амплитуда сферической волны

r

Рис.2.9

На основании изложенного следует сделать вывод о том, что движущееся электромагнитное поле как физический процесс может быть описано волновыми уравнениями (2.15), (2.16) и (2.19). Поле при движении имеет волновой характер. Амплитуда волны в зависимости от пройденного расстояния может изменяться. Изменение фазы поля зависит от времени запаздывания. Поверхности равных фаз образуют плоские, цилиндрические и сферические волны.

Задание для самопроверки знаний и умения

1. Какими векторными величинами характеризуется электромагнитное поле?

2. Физическое содержание векторов E, D, H и B.

3. Чем определяется взаимосвязь векторов поля?

4. Источники электромагнитного поля.

5. Электрическое поле точечного заряда.

6. Электромагнитные свойства сред.

7. Уравнения Максвелла в интегральной форме и их физический смысл.

8. Уравнения Остроградского-Гаусса, уравнения Стокса.

9. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме, их назначение.

10. Метод комплексных векторных амплитуд и комплексная форма уравнений Максвелла.

11. Принцип перестановочной двойственности.

12. Абсолютная комплексная диэлектрическая проницаемость среды, граничная частота и ее назначение.

13. Зависимость параметров среды от длины волны электромагнитного поля.

14. Что такое электромагнитное поле и как его обнаружить?

15. Какие существуют направления в науке по изучению свойств поля?

16. Как понимаются выражения rot E = 0 и div E = 0 ?

17. Что такое фиктивные заряды и токи, их назначение?

18. Записать первые два дифференциальных уравнения Максвелла в декартовой системе координат.

19. Почему электрические силовые линии поля могут начинаться и заканчиваться на зарядах, но могут и не иметь начала и конца?

20. Какие среды относятся к анизотропным и в чем их отличие от изотропных? Какие среды используются для расчетов?

21.Воспользовавшись уравнениями Максвелла, получить закон сохранения энергии электромагнитного поля.

22. Физический смысл энергии потерь электромагнитного поля в объеме.

23.Физический смысл излученной энергии из объема.

24. Физический смысл колебательной энергии электромагнитного поля в объеме.

25.Получить волновые уравнения для электромагнитного поля, используя уравнения Максвелла.

26. Волновые уравнения Гельмгольца.

27. Свойства волновых уравнений.

28. От чего зависит скорость распространения электромагнитного поля?

29. Что такое волновое число?

30.Каков физический смысл вектора Пойнтинга и какова размерность?

31. Плоская, цилиндрическая и сферическая волны.