- •Министерство образования и науки российской федерации метрология, стандартизация и сертификация
- •Введение
- •1. Методы нормирования погрешности. Класс точности средств измерений
- •2. Вероятностное описание погрешностей как случайных величин
- •2.1. Основные понятия.
- •2.2. Законы распределения
- •2.2.1. Числовые характеристики св
- •2.2.1.1. Характеристики положения
- •2.2.1.2. Характеристики рассеивания
- •2.3. Основные законы распределения
- •2.3.1. Трапецеидальные распределения
- •Значения параметров трапецеидальных распределений
- •2.3.2. Экспоненциальные распределения
- •2.3.3. Нормальное распределение (распределение Гаусса)
- •2.3.4. Семейство распределений Стьюдента
- •Значения точечных оценок распределения Стьюдента при различных степенях свободы
- •2.4. Точечные оценки законов распределения
- •2.5. Интервальные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал
- •3. Обработка результатов измерений
- •3.1. Правила округления значений погрешности и результата измерений
- •3.2. Обработка результатов прямых многократных измерений
- •3.2.1. Грубые погрешности и методы их исключения
- •3.2.1.1. Понятие о грубых погрешностях
- •3.2.1.2. Критерии исключения грубых погрешностей
- •Значения критерия Шарлье
- •Значения критерия Диксона
- •3.2.2. Суммирование погрешностей
- •Значения коэффициента k для различных значений р и m
- •3.2.3. Порядок обработки прямых многократных равноточных измерений
- •3.3. Многократные прямые неравноточные измерения
- •3.4. Прямые однократные измерения
- •3.5. Косвенные измерения
- •4. Задания по расчетно-графической работе
- •Приложение . Статистические таблицы
- •Значения функции Лапласа
- •Значения распределения Стьюдента
- •Список литературы
- •1. Методы нормирования погрешности. Класс 4
- •2. Вероятностное описание погрешностей 13
- •3. Обработка результатов измерений 43
- •4. Задания по расчетно-графической работе 67
- •424000 Йошкар-Ола, пл. Ленина, 3
- •424006 Йошкар-Ола, ул. Панфилова, 17
2.3.2. Экспоненциальные распределения
Экспоненциальные распределения описываются следующей функцией плотности вероятности
, (2.22)
где ; - СКО; - константа, характерная для данного распределения; - координата центра; Г(х) – гамма – функция.
В нормированном виде при и ,
, (2.23)
где – нормирующий множитель распределения.
Интегральная функция нормированного экспоненциального распределения описывается выражением
.
Интеграл, входящий в эту формулу, выражается через элементарные функции только при α = 1/n, n = 1, 2, 3,… При α = n = 2, 3, 4, … он может быть рассчитан по приближенным формулам.
В приведенных выражениях константа α однозначно определяет вид и параметры распределений. При α < 1 распределение имеет очень пологие спады и по форме близко к распределению Коши. При α = 1 получается распределение Лапласа, при α = 2 – нормальное распределение. При α > 2 распределения (3.22) близки по свойствам к трапецеидальным, а при α → ∞ соответствуют равномерному распределению.
Эксцесс всех этих распределений выражается единой формулой через показатель экспоненты α.
(2.25)
Контрэксцесс равен
(2.26)
В таблице 2.2 приведены некоторые экспоненциальные распределения и их параметры, а на рис.2.6 графики функций плотности вероятности (дифференциальных функций).
Таблица 2.2
Экспоненциальные распределения и их параметры при различных значениях
и,
Функция плотности вероятности |
Параметр |
Эксцесс ε |
Контрэксцесс |
1/4 |
458 |
0,0467 |
|
1/3 |
107,25 |
0,0966 |
|
1/2 |
25,2 |
0,199 |
|
распределение Лапласа |
1 |
6 |
0,408 |
нормальное распределение |
2 |
3 |
0,577 |
Равномерное распределение |
∞ |
1,8 |
0,745 |
2.3.3. Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Нормальное распределение, как и равномерное распределение, является разновидностью экспоненциальных. При этом нормальный закон распределения имеет наибольшее распространение, что объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, утверждающей, что распределение СВ (погрешностей) будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений являются суммой большого числа независимых факторов, каждый из которых
оказывает незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.
Для нецентрированных СВ это распределение является двухпараметрическим и имеет следующий вид
(2.27)
где – СКО; – математическое ожидание.
Вид нормального распределения был показан на рис.2.2.
При введении новой переменной из (2.27) получается нормированное нормальное распределение, интегральная и дифференциальная функции распределения которого соответственно равны
(2.28)
(2.29)
Нормирование приводит к переносу начала координат в центр распределения и выражению абсциссы в долях СКО. Значения функций (2.28) и (2.29) сведены в таблицы, которые можно найти в литературе по теории вероятностей.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
(2.30)
называют функцией Лапласа. Для нее справедливы следующие равенства:
;; ;
Функция Лапласа используется для определения значений интегральных функций нормальных распределений. Функция F(t) связана с функцией Лапласа формулой
(2.31)
Поскольку интеграл в (2.30) не выражается через элементарные функции, то значения функции Лапласа для различных значений t сведены в таблицу (см. табл. П 1 ).