Краткие теоретические сведения

При рассмотрении работы нелинейного элемента при большом уровне управляющих сигналов целесообразно применять кусочно-линейную аппроксимацию вольт – амперной характеристики (см. [3] с. 280). При гармоническом возбуждении ток приобретает импульсную форму.

Рис. 1. Нелинейный режим работы усилительного прибора

Угол , соответствующий изменению тока от максимального значения до нуля, получил название угла отсечки тока. Длительность импульсов тока равна .(рис. 1. б). Из рисунка 1 а очевидно следующее выражение:

Амплитуда тока

где - крутизна линейной части вольт – амперной характеристики.

При гармоническом возбуждении нелинейного элемента форма импульса тока в пределах близка к отсеченной косинусоиде и, если пренебречь кривизной вольт - амперной характеристики на нижнем сгибе, мгновенное значение тока можно выразить уравнением

Символом обозначено значение импульса, которое получилось бы при .

Так как амплитуда реального импульса соответствует моменту , имеет место соотношение

откуда

Подставив это выражение в выражение для i(t), получим

Основываясь на этом выражении нетрудно получить коэффициенты ряда Фурье для периодической последовательности косинусоидальных импульсов, представленной на рис. 2.

Рис. 2. Осциллограмма периодической последовательности

косинусоидальных импульсов тока.

Ввиду четности функции относительно ряд содержит одни лишь косинусоидальные члены. Тогда

Аналогично можно получить общее выражение для амплитуды n-той гармоники тока:

Члены

называются коэффициентами, соответственно, постоянной составляющей, первой гармоники и т.д. (функции Берга).

Графики коэффициентов при изменении угла отсечки от до показаны на рис. 3.

Рис. 3. Зависимости коэффициентов разложения α_n косинусоидального импульса от угла отсечки θ

При ток вообще равен нулю (нелинейный элемент заперт на протяжении всего периода); при отсечка тока отсутствует, и режим работы становится линейным.

Из рассмотрения графиков функций можно вывести важные заключения. Бросается в глаза, что при работе с углом отсечки меньше 180⁰ отношение амплитуды первой гармоники к постоянной составляющей больше единицы, между тем как в линейном режиме это отношение много меньше единицы. Видно, что с уменьшением отношение

растет. Кроме того, с повышением номера гармоник максимумы функций перемещаются в область малых значений . Все эти обстоятельства оказывают существенное влияние на выбор режима активного элемента при усилении колебаний и при умножении частоты.

Ход работы:

1. Смоделировать в виде дискретной выборки исследуемый сигнал (импульсы с отсечкой):

, где

- амплитуда импульсов;

f – частота сигнала;

- угол отсечки выходного тока.

При моделировании следует предусмотреть возможность изменения амплитуды импульсов, частоты повторения и угла отсечки. Рекомендуемая схема имитационного моделирования импульсов тока с отсечкой в пакете simulink показана на рис. 4.

Рис. 4. Схема моделирования импульсов тока с отсечкой.

Частоту дискретизации рекомендуется задать минимум в 10 раз больше, чем частота наивысшей исследуемой гармоники. При выборе длины выборки (длительности времени наблюдения) необходимо исходить из требуемого в эксперименте спектрального разрешения. Рекомендуется длительность времени наблюдения выбирать хотя бы в 4 раза большей периода сигнала. Т.к. смоделированная временная выборка в дальнейшем будет использоваться для расчета Фурье-спектра методом БФП (быстрого преобразования Фурье), то количество отсчётов в ней должно быть кратно целой степени числа 2 (128,256,512,1024…). Очевидно, что количество отсчётов N, частота дискретизации Fs и длительность выборки T связанны простым соотношением:

2. Рассчитать амплитудно-частотный спектр сигнала. По амплитудно-частотному спектру сигнала определить амплитуду исследуемых гармоник. Для этого можно воспользоваться, например, утилитой sptool. Для ее вызова в командном окне Matlab необходимо набрать команду sptool. Появится окно утилиты. Далее необходимо командой файл – импорт импортировать исследуемый сигнал, задать частоту дискретизации в соответствии с требованиями п.1. После чего нужно построить спектр сигнала, для этого нужно нажать кнопку create в окне утилиты. Далее необходимо выбрать тип обработки сигнала FFT и задать число точек для БПФ. Тогда при нажатии на кнопку apply программа произведет БПФ выбранного импортированного сигнала и построит его график как показано на рис.5.

Рис. 5. График спектральной плотности мощности входного сигнала, полученный при помощи БПФ

Необходимо, однако, учитывать, что на рисунке представлена спектральная плотность мощности. В отчёте должен быть приведён амплитудный спектр сигнала, который равен корню квадратному из спектральной плотности мощности. Кроме того, для отыскания I₀ необходимо значение при нулевой частоте разделить на 2, так как на рисунке на нулевой частоте показана не постоянная составляющая тока, а её удвоенное значение , в то время как .

3. Изменяя угол отсечки в диапазоне от 10 до 180 градусов повторить пункты 1 и 2. По данным эксперимента заполнить таблицу 1.

Таблица 1

[град]

[А] эксп

[А] эксп

[А] эксп

[А] эксп

[А] эксп

расчётн.

расчётн.

расчётн.

4. Рассчитать теоретическую зависимость коэффициентов Берга и провести сравнение теоретических и экспериментальных данных. В расчётах необходимо использовать общее выражение для амплитуды n-ой гармоники косинусоидальных импульсов(I_n):

и определение коэффициентов Берга:

.

При использовании предложенной модели амплитуда колебаний генератора равна единице, для изменения угла отсечки необходимо варьировать параметры E_c, E^' и U_m причем, где E_c – напряжение смещения, E^' – напряжение отсечки, U_m - амплитуда колебаний сигнала на входе активного элемента, работающего в нелинейном режиме.

На основании полученных расчётных и экспериментальных данных заполняется таблица 2, после чего необходимо построить график зависимости расчётных коэффициентов Берга от угла отсечки с экспериментальными точками.

Таблица 2

[град]

- эксп.

- эксп

-расчётн.

- расчётн

Вывод к работе должен содержать объяснение физической сущности коэффициентов гармонического разложения и описание их зависимости от угла отсечки. В выводе следует указать спектральное разрешение, использованное в эксперименте и указание границ частотного диапазона.