2.2 Конспект лекционных занятий.

Лекция 1. Введение. Метод проекций. Эпюр Монжа.

Начертательная геометрия, являясь одним из разделов математики, изучает методы отображения трехмерного пространства на плоскость и способы графических решений пространственных задач на чертеже.

Геометрические фигуры делятся на линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность), составные (многогранники и др.). Основным элементом пространства принято считать точку, поэтому все геометрические фигуры представляются как множества точек. Основным методом начертательной геометрии является метод проецирования.

Центральное проецирование. Центральное проецирование состоит из центра проецирования S и плоскости проекций П_i . Для построения проекции точки А_i некоторой точки А пространства выполняют следующие операции:

- строят проецирующую прямую SA;

- определяют точку А_i пересечения SA с плоскостью П_i.

Свойства центрального проецирования:

1. проекцией точки является точка: АА_i;

2. прямая проецируется в прямую: mm_i (проецирующая прямая проецируется в точку);

3. сохраняется принадлежность: С m ® C_iÎ m_i.

Параллельное проецирование. Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования, когда центр проецирования S становится несобственным. Поэтому обычно вместо несобственного центра проецирования S ^ говорят о направлении проецирования s. Первые три свойства центрального проецирования будут справедливыми и в случае параллельного проецирования. Свойства параллельного проецирования:

4. сохраняется параллельность: аb ® a_i b_i.

5. отношения длин проекций отрезков параллельных прямых к длинам самих отрезков постоянны;

6. Отрезки прямых, плоские фигуры, параллельные плоскости проекций, проецируются без искажения (в натуральную величину).

Прямоугольное проецирование. Если направление s параллельного проецирования перпендикулярно плоскости П_i , то проецирование называется прямоугольным (ортогональным). Все свойства параллельного проецирования справедливы в случае прямоугольного проецирования.

7.

где  - угол между отрезками АС, ВС и плоскостью проекций П_i (рисунок 1.2).

Правило прямоугольного треугольника. Натуральная величина отрезка АВ равна гипотенузе прямоугольного треуголь­ника, один катет которого равен проек­ции отрезка на П_i , а второй катет – раз­ности расстояний концов отрезка до этой плоскости проекций.

Теорема. Прямоугольной проекцией прямого угла является также прямой угол, если одна его сторона параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей (рисунок 1.3).

Требования, предъявляемые к чертежу. К чертежу предъявляются следующие требования: обратимость, точность, простота, наглядность. Чертеж называется обратимым, если по изображению фигуры можно восстановить ее форму, размеры и положение в пространстве. В инженерной практике широко используются обратимые чертежи: - эпюр Монжа, аксонометрия, линейная перспектива, проекции с числовыми отметками.

Чертеж Монжа – основной вид обратимого изображения. Французский математик и инженер Гаспар Монж (1746-1818гг.), систематизировав и обобщив накопленные к тому времени знания по теории и практике построения изображений предметов пространства, предложил получать их изображения путем прямоугольного проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. В зависимости от этого также чертежи называют двухкартинными (рисунок 1.4) или трехкартинными (рисунок 1.5). На рисунке 1.4а видно, что плоскости П₁(фронтальная), П₂ (горизонтальная) делят пространство на четыре части, называемые четвертями. Полученный чертеж на рисунке 1.4б является обратимым, так как по нему можно определить координаты точки А в пространстве. Следовательно, на двухкартинном чертеже можно решать любые позиционные и метрические задачи.

Трехкартинный чертеж Монжа получается из двух картинного путем добавления третьей плоскости проекций П₃, перпендикулярной оси Оx (рисунок 1.5). Эта плоскость называется профильной плоскостью проекций.

Плоскости П₁, П₂, П₃ делят пространство на восемь частей, называемых октантами. Построение третьей проекции по двум заданным показано на рисунке 1.5б. В ряде случаев на чертеже Монжа не указываются проекции осей координат. Такие чертежи принято назвать безосными.

Основная литература: 1 осн.8-20 , 2 осн. 4-30 

Дополнительная литература: 1 доп.[7-14].

Контрольные вопросы:

1.Что составляет предмет начертательной геометрии?

2. Перечислите свойства центрального проецирования.

3. Перечислите свойства параллельного проецирования.

4. Перечислите основные требования, предъявляемые к чертежу.

5. Что называют ортогональной проекцией точки?

6. Как образуются проекции точки на плоскостях П₁, П₂, П₃?

7. Что называют координатами точки пространства в декартовой системе координат и какие координаты на эпюре определяют ее горизонтальную, фронтальную проекции?

Лекция 2. Прямые общего и частного положения на эпюре Монжа.

Т ак как прямая m однозначно определяется двумя точками А и В, то ее проекции определяются проекциями этих точек (рисунок 2.1). В силу сохранения свойства принадлежности при проецировании проекции прямой проходят через одноименные проекции точек: m₁(A₁,B₁); m₂(A₂,B₂); m₃(A_.3,B₃).

Прямая, расположенная совершенно произвольно относительно плоскостей проекций, называется прямой общего положения. На рисунке 2.1 показана прямая общего положения.

Прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций, называется прямой уровня (рисунок 2.2). Прямая АВ, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой (горизонталь) h.

Прямая CD, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой (фронталь) f.

Прямая EF, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой p. Отрезки прямых уровня проецируются без искажения на соответствующую плоскость проекций.

Прямая, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей (рисунок 2.3). Признаком проецирующей прямой является вырождение какой-либо ее проекции в точку. Проецирующая прямая называется:

- горизонтально-проецирующей, если она перпендикулярна П₂;

- фронтально-проецирующей, если она перпендикулярна П₁;

- профильно-проецирующей, если она перпендикулярна П₃.

Следы прямой. Точка пересечения прямой с какой-либо плоскостью проекций называется ее следом на этой плоскости проекций.

А ппликата горизонтального следа М = lП₂ прямой а равна нулю, поэтому его фронтальная проекция М₁ принадлежит оси x₁₂. Аналогично, фронтальный след N = lП₁ имеет ординату, равную нулю, следовательно, его горизонтальная проекция N₂ принадлежит оси x₁₂.

Для построения горизонтального следа М прямой l необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью x₁₂ и в этой точке восставить к оси перпендикуляр до пересечения с горизонтальной проекцией прямой. Для построения фронтального следа N прямой l нужно из точки пересечения горизонтальной проекции ее с осью x₁₂ восставить к оси перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.

Основная литература: 1 осн.21-22 , 2 осн. 31-34 

Дополнительная литература: 1 доп.[15-17].

Контрольные вопросы:

1. Какую прямую называют прямой общего положения?

2. Перечислите прямые частного положения?

3. Какие прямые называются прямыми уровня?

4. Какие прямые называются проецирующими прямыми линиями?

5. Что называют следом прямой?

6. Как построить горизонтальный и фронтальный следы прямой?

Лекция 3. Плоскости общего и частного положения на эпюре Монжа.

П оложение плоскости в пространстве можно определить: тремя точками, не лежащими на одной прямой (рисунок 3.1а), прямой и точкой вне ее (рисунок 3.1б), двумя пересекающимися (рисунок 3.1в) или прямыми (рисунок 3.1г), любой плоской фигурой (рисунок 3.1д). Каждый последующий вид задания плоскости может быть получен из предыдущего.

Плоскость может быть задана также следами. Следами плоскости называются линии пересечения плоскости с плоскостями проекций (рисунок 3.2).

В общем случае плоскость имеет три следа: горизонтальный h_, фронтальный f_, профильный p_. Следы плоскости пересекаются попарно на осях в точках X_, Y_, Z_, которые называются точками схода следов плоскости. Треугольник, образованный следами плоскости, называется треугольником следов.

Плоскость, произвольно расположенная относительно плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения.

Плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей, а параллельная ей – плоскостью уровня.

Различают горизонтально ((АВС)П₂), фронтально ((DEF)П₁) и профильно ((GKH)П₃) проецирующие плоскости (рисунок 3.3).

Н а рисунке 3.4 изображены плоскости уровня: горизонтальная ((АВС)П₂), фронтальная ((DEF)П₁), профильная ((GKH)П₃).

Основная литература: 1 осн.35-42 , 2 осн. 40-49 

Дополнительная литература: 1 доп.[19-20].

Контрольные вопросы:

1. Перечислите и изобразите графические способы задания плоскости на комплексном чертеже.

2. Что понимаю под следом плоскости?

3. Какую плоскость называют проецирующей и каковы ее графические признаки на чертеже?

4. Дайте характеристики плоскостям: горизонтально проецирующей, фронтально проецирующей, профильно проецирующей.

5. Какую плоскость называют плоскостью уровня?

6. Какую плоскость называют горизонтальной? фронтальной? профильной?

Лекция 4. Основные позиционные задачи.

Основными позиционными задачами называются задачи на определение взаимного расположения точки, прямой и плоскости.

Для определения видимости на чертеже применяется метод конкурирующих точек. Конкурирующими называются точки, расположенные на одной проецирующей прямой. На рисунке 4.1 (АВ) П₁, следовательно точки А и В – фронтально-конкурирующие. (СD) П₂, поэтому точки С и D – горизонтально-конкурирующие. Точка С находится выше точки D, поэтому точка С является видимой на горизонтальной проекции. Ордината точки А больше, чем точки В, поэтому точка А находится ближе к зрителю, следовательно, она является видимой на фронтальной проекции.

Прямые и точки, лежащие в плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат данной плоскости. На рисунке 4.2 показана прямая l, принадлежащая плоскости (bc), поскольку имеет с нею две общие точки – В и С.

Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей данной плоскости. Для того чтобы построить в плоскости (bc) точку K (рисунок 4.2), необходимо провести в плоскости прямую l, принадлежащую плоскости a(bÇc), а затем задать на ней точку K, которая принадлежит прямой l и, следовательно, плоскости a(bÇc).

Главные линии плоскости. Среди множества прямых, которые могут быть проведены в плоскости, следует выделить главные линии плоскости:

1. Горизонтали – прямые, принадлежащие плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций (рисунок 4.3а). Фронтальная проекция горизонтали горизонтальна.

2 . Фронтали – прямые, принадлежащие плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций (рисунок 4.3б). Горизонтальная проекция фронтали горизонтальна.

3. Линии наибольшего ската(наклона) - прямые, принадлежащие данной плоскости и перпендикулярные горизонталям (или фронталям) плоскости. На рисунке 4.4 показана линия наибольшего ската MN плоскости .

Следует отметить, что следы плоскости также являются главными линиями плоскости – горизонталью и фронталью, совмещенными с плоскостями проекций. Главные линии плоскости в качестве вспомогательных прямых облегчают решение ряда задач.

Взаимное положение двух плоскостей. Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости. Если параллельные плоскости задаются на эпюре следами, то одноименные следы этих плоскостей должны быть параллельны. На рисунке 4.5 плоскость (ab) параллельна плоскости (сd), поскольку с  а (с₁  а₁, с₂  а₂ ), d  b (d₁  b₁, d₂  b₂ ) .

Рассмотрим частный случай пересечения плоскостей, когда одна из них – проецирующая (рисунок 4.6). Если одна из пересекающихся плоскостей проецирующая, то одна из проекций линии пересечения совпадает с ее проецирующим следом.

Рассмотрим общий случай пересечения, когда обе плоскости – общего положения. На рисунке 4.7а приведены две плоскости  и , заданные следами. Общими точками плоскостей являются точки М и N одноименных следов. Соединяя одноименные проекции этих точек прямой линией, получим проекции линии пересечения плоскостей.

Если точки пересечения одноименных следов находятся вне поля чертежа, а также в тех случаях когда плоскости заданы не следами, а другими геометрическими элементами, то для определения линии пересечения плоскостей следует использовать вспомогательные проецирующие плоскости или плоскости уровня. На рисунке 4.7б показаны две плоскости общего положения, заданные треугольником и двумя параллельными прямыми. Для определения двух общих точек линии пересечения плоскостей проводим две вспомогательные плоскости уровня  и .

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости.

Если прямая не принадлежит плоскости и не параллельна ей, то она пересекает данную плоскость. Задача на пересечение прямой линии с плоскостью является одной из основных задач начертательной геометрии. Если плоскость занимает проецирующее положение, то одна проекция точки пересечения определяется в пересечении проекции прямой с проецирующим следом плоскости, а другая строится с помощью линии связи (рисунок 4.8).

Если плоскость общего положения, точка пересечения прямой с плоскостью определяется с помощью вспомогательной секущей плоскости.

Для построения точки пересечения прямой линии l с плоскостью (АВС) необходимо(рисунок 4.9):

1) провести через прямую l вспомогательную проецирующую плоскость ; 2) построить линию MN пересечения данной плоскости  и вспомогательной плоскости ; 3) определить искомую точку К пересечения данной прямой l с линией пересечения плоскостей MN (в случае если l  MN, то прямая l параллельна плоскости , если l  MN, то прямая l принадлежит плоскости ).

Основная литература: 1 осн.43-62 , 2 осн. 40-66 

Дополнительная литература: 1 доп.[20-29].

Контрольные вопросы:

1. Когда прямая принадлежит плоскости?

2. Когда точка принадлежит плоскости?

3. Перечислите и изобразите главные линии плоскости.

4. В каком случае прямая параллельна плоскости?

5. Как по чертежу установить параллельность двух плоскостей?

6. Перечислите этапы построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения.

Лекция 5. Многогранники.

Многогранной поверхностью называется поверхность, образованная частями(отсеками) пересекающихся плоскостей. Многогранником называется тело, ограниченное многогранной поверхностью, состоящей из плоских многоугольников. Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения - ребрами. Точки пересечения ребер называются вершинами. Совокупность ребер и вершин многогранной поверхности называется сеткой.

Наиболее распространенные многогранники – призмы и пирамиды. Призму, ребра которой перпендикулярны к основанию, называют прямой. Если в основании прямой призмы – прямоугольник, призму называют параллелепипедом.

Многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называется пирамидой.

Среди большого числа разновидностей многогранников особую группу составляют правильные выпуклые многогранники.

Правильными многогранниками (Платоновыми) называются многогранники, у которых все грани – правильные и равные многоугольники, а углы при вершинах равны. Около каждого многогранника можно описать сферу и, наоборот, в каждый многогранник можно вписать сферу.

Существуют пять правильных многогранников:

1. Тетраэдр (четырехгранник) ограничен четырьмя равносторонними и равными треугольниками. Тетраэдр – правильная трехгранная пирамида.

2. Гексаэдр (шестигранник), или куб. Его поверхность состоит из шести равных квадратов..

3. Октаэдр (восьмигранник). Его поверхность состоит из восьми равных треугольников. Куб и октаэдр имеют одинаковое число ребер. В октаэдр можно вписать куб, а в куб – октаэдр, так чтобы вершины одного многогранника совпадали с центром граней другого. Такие многогранники называются взаимно соответствующими

4. Додекаэдр (двенадцатигранник) ограничен двенадцатью равносторонними и равными пятиугольниками. Около каждой вершины соединены три пятиугольника. Додекаэдру соответствует правильный двадцатигранник.

5. Икосаэдр (двадцатигранник). Его поверхность состоит из двадцати равносторонних и равных треугольников, соединенных по пяти около каждой вершины. В икосаэдр можно вписать додекаэдр. Икосаэдр и додекаэдр являются взаимно соответствующими многогранниками.

Тетраэдр взаимно соответствует самому себе.

У каждой пары взаимно соответствующих многогранников число граней одного многогранника соответствует числу вершин другого, а количество ребер у них одинаково.

Таблица 5.1

Наименование	Форма грани	Г	В	Р
Тетраэдр		4	4	6
Гексаэдр (куб)		6	8	12
Октаэдр		8	6	12
Додекаэдр		12	20	30
Икосаэдр		20	12	30

Свойства многогранников изучал Эйлер, ему принадлежит теорема, устанавливающая зависимость между числом граней (Г), вершин (В) и ребер (Р) выпуклых многогранников всех видов.

Теорема. У всякого выпуклого многогранника число граней плюс число вершин минус число ребер равно двум, т.е. Г + В – Р =2.

Видимость ребер многогранника. Для определения видимости применяется способ конкурирующих точек (рисунок 5.1). Внешний контур проекций многогранника всегда видимый. Видимость ребер внутри контура следует определять на каждой проекции отдельно, рассматривая взаиморасположение ребер.

На рисунке 5.1 даны проекции четырехгранника. На фронтальной проекции конкурирующими точками скрещивающихся ребер являются точки 1 и 2, а на горизонтальной проекции – точки 3 и 4. Анализ взаиморасположения конкурирующих точек позволяет установить, что на фронтальной проекции ребро АD будет видимым, а ребро ВС – невидимым. На горизонтальной проекции ребро BD будет видимым, а ребро АС – невидимым.

Пересечение многогранника плоскостью. Линией пересечения поверхности многогранника плоскостью является плоский многоугольник, вершины и стороны которого определяются пересечением заданной плоскости соответственно с ребрами и гранями данного геометрического тела. Таким образом, для построения сечения находят или точки пересечения ребер с заданной плоскостью или строят прямые, по которым плоскость пересекается с гранями многогранника. Первый способ называют способом ребер, второй – способом граней.

Построение сечений значительно упрощается, если секущая плоскость является проецирующей. В этом случае одна проекция сечения совпадет с проецирующим следом плоскости. На рисунке 5.2 фронтальная проекция А₁,В₁,С₁ сечения совпадает с фронтальным следом ₁ секущей плоскости. Проведя линии связи до горизонтальных проекций соответствующих ребер многогранника, получим горизонтальную проекцию сечения.

Пересечение прямой призмы плоскостью общего положения. Секущая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми – горизонталью и фронталью. Так как боковые грани призмы – горизонтально проецирующие плоскости, горизонтальная проекция сечения известна, она совпадает с горизонтальной проекцией боковых граней и ребер призмы. Для построения фронтальной проекции сечения необходимо спроецировать точки А, В, С, принадлежащие секущей плоскости, на фронтальную проекцию. Через точки А₂ и В₂проведем горизонтальную проекцию (1₂2₂) прямой (1,2). На фронтальной проекции (1₁2₁) находим фронтальные проекции А₁, В₁. Через точку С проводим горизонтальную проекцию f´₂ фронтали f´, а затем строим ее фронтальную проекцию. В пересечении с соответствующим ребром призмы получим искомую проекцию точки С.

Пересечение пирамиды плоскостью общего положения. В отличие о предыдущей задачи, здесь необходимо построить обе проекции сечения. Горизонтальный след секущей плоскости не пересекает основание пирамиды, следовательно, пересекается ее боковая поверхность. Сечение должно иметь форму треугольника, вершинами которого будут точки пересечения ребер пирамиды с плоскостью. Точка пересечения D ребра SC с плоскостью (fh) найдена с помощью фронтально проецирующей плоскостью . Таким же образом можно определить и точку Е сечения. Но можно применить и другой прием. Продолжим ребро АС, которое является горизонтальным следом грани АСS пирамиды, до пересечения с горизонтальным следом секущей плоскости в точке 3. Точки D и 3 принадлежат линии пересечения ED данной грани и секущей плоскости. Построим точку F таким же способом, так как вспомогательная секущая плоскость, проведенная через ребро BS, будет параллельна профильной плоскости проекций и не даст решения. Точка 4 является точкой пересечения горизонтальных следов грани ABS и секущей плоскости. Соединив полученные точки прямыми и выделив на фронтальной проекции невидимый участок DE сечения, закончим построения.

Пересечение прямой линии с многогранником (рисунок 5.5). Эта задача решается в три этапа: 1) через данную прямую проводят секущую плоскость; 2) строят линию пересечения многогранника с секущей плоскостью; 3) определяют точки пересечения данной прямой с контуром сечения.

Линия пересечения двух многогранников представляет собой пространственную замкнутую линию. В частных случаях эта ломаная может распадаться на две замкнутые ломаные линии. Вершинами ломаной являются точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Стороны представляют собой отрезки прямых, по которым пересекаются грани многогранников. Построения упрощаются, если вершины и стороны ломаной определяются соответственно как точки и прямые пересечения граней общего положения одного многогранника с проецирующими ребрами и гранями другого. При построении линии пересечения поверхностей двух пирамид, призмы и пирамиды, двух призм в качестве вспомогательных плоскостей можно использовать плоскости общего положения:

1. две пирамиды – вспомогательные плоскости должны проходить через вершины пирамид;

2. пирамида и призма – вспомогательные плоскости, проходящие через вершину пирамиды параллельно боковым ребрам призмы;

3. две призмы – вспомогательные плоскости, параллельные боковым ребрам обеих призм.

Пересечение пирамиды с прямой призмой. Боковые ребра призмы проецируются в точки, а боковые грани являются горизонтально проецирующими отсеками плоскостей. Поэтому, одна проекция линии пересечения многогранников известна. Точки пересечении пирамиды с призмой легко определяется на горизонтальной проекции. С помощью линии связи строим фронтальные проекции этих точек. Из вертикальных ребер призмы лишь одно пересекает пирамиду. Точки пересечения этого ребра определяем с помощью вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости, проходящей через данное ребро и вершину пирамиды. Соединяем построенные проекции точек, при этом следует руководствоваться горизонтальной проекцией.

Основная литература: 1 осн.95-116 , 2 осн. 111-146 

Дополнительная литература: 1 доп.[37-57].

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение многогранника. Перечислите элементы многогранника.

2. Какие многогранники называются правильными?

3. Изложите сущность построения сечения многогранника плоскостью общего положения.

4. Изложите алгоритм построения точек пересечения прямой линии с многогранником.

5. Изложите сущность двух способов построения линии взаимного пересечения многогранников.