- •Лекции, практические занятия и лабораторные работы
- •Зачеты и экзамены
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Тема 3. Применение дифференциального исчисления для исследования функции и построения графиков
- •Тема 4. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Тема 5. Элементы высшей алгебры
- •Тема 6. Неопределенный интеграл
- •Тема 7. Определенный интеграл
- •Тема 8. Функции нескольких переменных
- •Тема 9. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •Тема 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ду) и системы дифференциальных уравнений (сду)
- •Тема 11. Теория рядов
- •Тема 12. Теория вероятностей (тв) и математическая статистика (мс)
- •Тема 13. Уравнения математической физики
- •Тема 14. Элементы операционного исчисления
- •3.3. Задания контрольных работ
- •Линейная алгебра и аналитическая геометрия Задание 1.1
- •Задание 1.2
- •Задание 1.3
- •Задание 1.4
- •Задание 1.5
- •Задание 1.6 Решить следующие задачи
- •Задание 1.7 Решить следующие задачи
- •Задание 1.8
- •4. Примеры решения задач контрольных работ
- •4.1. Решение типового варианта контрольной работы №1
- •4.2. Решение типового варианта контрольной работы n 2
- •4.3. Решение типового варианта контрольной работы n 3
- •4.4. Решение типового варианта контрольной работы № 4
4.4. Решение типового варианта контрольной работы № 4
Задача 4.1. С помощью интегрирования по частям вычислить неопределенный интеграл от функции вида
Решение. Поскольку
искомый интеграл равен
Задача 4.2. Вычислить неопределенный интеграл с помощью разложения на простейшие дроби подынтегральной функции
Решение. Поскольку степень многочлена в числителе не меньше степени знаменателя, следует выполнить деление:
.
Правильную дробь разложим на простейшие дроби
.
Методом неопределенных коэффициентов находим
,
откуда
.
Решая эту систему уравнений, имеем
.
Искомый интеграл равен
Задача 4.3. Вычислить с помощью подстановки неопределенный интеграл от функции .
Решение. Выполним подстановку Разрешая уравнение относительно , находим: .
Тогда искомый интеграл запишется:
Разлагая подынтегральное выражениe на простейшие дроби
и раскрывая скобки в равенстве
,
приходим к соотношению
Система уравнений относительно запишется
Решая ее методом Гаусса, находим
Искомый интеграл равен:
.
Задача 4.4. Вычислить с помощью подстановки неопределенный интеграл от функции .
Решение. Универсальной является подстановка для которой нетрудно проверить равенства
Поэтому искомый интеграл сводится к случаю интегрирования рациональной дроби
. (7)
Однако в ряде случаев более удобны подстановки:
(1) Тогда ;
(2) Тогда ;
(3) Тогда .
Подстановки 1,2 приводят к подынтегральным выражениям, содержащим радикал, и поэтому нецелесообразны. Для подстановки 3 приходим к интегралу, более простому, чем (7), и легко приводящемуся к табличному:
.
Задача 4.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)
б)
Решение. а). Рассмотрим вспомогательную функцию на отрезке Площадь вычисляется по формуле
Исследуем Очевидно, что Поскольку
,
нетрудно проверить, что достигает в точке локального минимума, причем Кроме того, Поэтому наименьшее значение на [0,2], равное , положительно, и, значит, Имеем
Вычисляя интеграл по частям, находим
Поэтому
б). Здесь на Имеем , и, следовательно, меняет знак. Найдем интервалы, где она положительна или отрицательна. Отыскивая корни уравнения находим значение поэтому при и при Искомая площадь равна:
Вычисляем неопределенный интеграл
Тогда
Задача 4.6. Вычислить площадь, ограниченную кривой в полярной системе координат.
Решение. Кривая определена для тех значений из интервала (или ), при которых выполняется условие Неравенство имеет решения или
. (8)
Области (8) принадлежат интервалу при значениях т.е.
Площадь вычисляется по формуле
Вычисляя неопределенный интеграл
находим
.
Задача 4.7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение. Согласно определению несобственного интеграла с бесконечным пределом имеем
.
Поскольку корнями трехчлена в знаменателе будут то
.
Методом неопределенных коэффициентов находим , откуда Поэтому
Значение несобственного интеграла равно
.
Задача 4.8. Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной заданными линиями и имеющей поверхностную плотность
D:
Решение. Вид области показан на рисунке.
Y
8
y=8x2
X
0 D 1
y= -x
-2
Масса пластины запишется с помощью двойного интеграла
.
Сведем двойной интеграл к повторному интегралу
Задача 4.9. Вычислить с помощью тройного интеграла объем области V, ограниченной указанными поверхностями: V: y=8-2x2, z=0, y=0, x=0, z=2x+y.
Решение. Область V изображена на рисунке, где цифрами 1, 2 обозначены параболический цилиндр y=8-2x2 и плоскость z=2x+y соответственно; остальные уравнения отвечают координатным плоскостям.
y
8 - B
V 2
1 4 -
D
S
0 C
Объем области посредством тройного интеграла запишется
Приведем интеграл к повторному
.
Через обозначены аппликаты точек (см. рис.), вычисленные из уравнений плоскости и плоскости , т.е. , . Через обозначена область плоскости , на которую проецируется область . Поэтому при сведении двойного интеграла по области к повторному ординаты точек вычисляются из уравнения и уравнения линии, являющейся пересечением цилиндрической поверхности и плоскости т.е. уравнения Искомый объем равен
Задача 4.10. Вычислить: а) заряд проводника, располагающегося вдоль кривой , с плотностью с помощью криволинейного интеграла первого рода; b) работу силы вдоль траектории L от т. A до т. B с помощью криволинейного интеграла второго рода.
- четверть окружности между А(3,-3), В(5,-1). (2) - дуга параболы от А(0,1) до В(1,-1).
Решение. а). Заряд q проводника, имеющего плотность заряда вычисляется по формуле
.
(1). Окружность удобно задать в параметрическом виде:
.
Участку L соответствуют значения параметра где
откуда Криволинейный интеграл выражается через определенный
причем верхний знак выбирается при и нижний - при
В данной задаче
(2). Для дуги параболы L удобнее использовать частный случай формулы при
Для имеем
Используем подстановку
Тогда
б). Работа силового поля с компонентами вдоль траектории АВ запишется
(1). Для четверти окружности приведем интеграл к определенному по формуле
(2). Для дуги параболы
Задача 4.11. Вычислить расход жидкости с полем скоростей , протекающей за единицу времени через часть плоскости лежащей в первом октанте. Единичная нормаль направлена вне начала координат.
Решение. Искомый расход дан формулой
.
Единичная нормаль к плоскости имеет компоненты
.
Поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл
,
где уравнение поверхности записано в явном виде:
.
Область является проекцией на плоскость и ограничена линиями
.
Внося в двойной интеграл заданные функции, находим
.
Последний запишется через повторный интеграл
С о д е р ж а н и е
1. |
Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
|
2. |
Типовые программы курса «Высшая математика». Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
|
2.1. |
Программа курса «Высшая математика» для инженерных специальностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
2.2. |
Программа курса «Высшая математика» для экономических специальностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
3. |
Контрольные работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
|
|
3.1. |
Правила оформления контрольных работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
|
3.2. |
Выбор варианта контрольной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
|
3.3. |
Задания контрольных работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
|
К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
|
|
К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
34 |
|
|
К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
|
|
К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
51 |
|
4. |
Примеры решения задач контрольных работ . . . . . . . . . . . |
67 |
|
|
4.1. |
Решение типового варианта контрольной работы № 1 . . . . . . . . . . . . . |
67 |
|
4.2. |
Решение типового варианта контрольной работы № 2 . . . . . . . . . . . . . |
75 |
|
4.3. |
Решение типового варианта контрольной работы № 3 . . . . . . . . . . . . . |
81 |
|
4.4. |
Решение типового варианта контрольной работы № 4 . . . . . . . . . . . . . |
86 |
Учебное издание
Высшая математика
Программа, методические указания и контрольные задания
для студентов-заочников инженерных и
инженерно-экономических специальностей
приборостроительного факультета
В 2-х частях
Ч а с т ь I
Составители: ИБРАГИМОВ Владислав Ахмедович
СТРЕЛЬЦОВ Сергей Викторович
МЕЛЕШКО Алексей Николаевич
ВИШНЕВСКАЯ Ольга Геннадьевна
Редактор Т.Н.Микулик
Подписано в печать 21.01.2000.
Формат 60х84 1/16. Бумага тип. № 2. Офсет. печать.
Усл.печ.л. 5,9. Уч.-изд.л. 4,5. Тираж 200. Заказ 544.
Издатель и полиграфическое исполнение:
Белорусская государственная политехническая академия.
Лицензия ЛВ № 155 от 30.01.98. 220027, Минск, пр. Ф.Скорины, 65.