III. Крутильный маятник.

Пуля массы m попадает в мишень, укрепленную на стержне, кото­рый вместе с проволокой П образует крутильный маятник. Считая удар пули о мишень неупругим, для определения скорости V₀ пули воспользуемся законом сохранения момента импульса в виде

mV_oL = Jw (1)

где L - расстояние от линии полета до оси вращения маятника

(прицельное расстояние), J - момент инерции маятника, w - его уг­ловая скорость непосредственно после удара.

Для определения w применяется закон сохранения энергии:

K Q_max²/2 = Jw²/2 (2)

Здесь K - модуль кручения проволоки П, а Q_max- максимальный угол поворота маятника.

Из (1) и (2) получаем

(3)

_{_____}

рис.2

Для экспериментального определения скорости пули удобно пре­образовать соотношение (3) так, чтобы в него входили непосредс­твенно измеряемые на опыте величины. Период колебаний слабо зату­хающего крутильного маятника имеет вид:

(4)

В результате ,исключая неизвестную величину К, получим

(5)

Момент инерции маятника согласно теореме Гюйгенса-Штейнера:

J = J_o + 2MR² (6)

где 2М - масса двух имеющихся на маятнике подвижных грузов, R -

расстояние от центра масс каждого из этих грузов до оси вращения.

С учетом (6) формула (5) приобретает вид:

(7)

Выясним теперь, как определить в рабочей формуле неизвестную величину J_o. Для этого запишем период колебаний маятника в виде

(8)

Таким образом, Т зависит от расстояния R центра подвижных

грузов М от оси вращения.

Установив грузы М на некотором расстоянии R₁ от оси вращения, можно определить период колебаний Т₁ маятника. Сместим грузы М в другое положение R₂ и снова измерим период колебаний Т₂ маятника. Так как (см.(8))

то, исключая из этих равенств К, находим

(9)

Для уменьшения погрешности, с которой определяется величина J_o расстояния R₁ и R₂ следует взять заметно отличающимися друг от друга. Лучше всего взять R₁ возможно ближе к оси вращения, а R₂- на максимальном расстоянии от нее. Подставляя (9) в (7), получим окончательную формулу

(10)

Таким образом, скорость пули может быть определена из формулы (10) по известным значениям массы m пули, масс M грузов и измеря­емым на опыте значениям периода колебаний T, прицельного расстоя­ния L, расстояния R и угла отклонения Q_max маятника.

IV. Измерения.

1. Определить массу пули m, проводя взвешивание 3-5 раз.

Найти Dm и m_ср.

2. Установить грузы М на расстояние R₁ ~ R_min. Найти откло­нение маятника Q = Q_max, период колебаний T₁, измерить прицельное расстояние L. Опыт повторить не менее 5 раз, рассчитать средние

значения и погрешности измеряемых величин.

3. Установить грузы М на расстоянии R₂ ~ R_max. Определить период колебаний T₂, повторяя опыт не менее 5 раз. Рассчитать среднее значение и погрешность измеряемой величины.

таблица 1

N опыт				L
1 2 … 5

4. . На основании экспериментальных результатов вычислить по формуле (10) скорость полета пули V_o и оценить погрешность изме­рений:

5. При выводе выражения (3) предполагалось, что выполняются следующие условия:

1) колебания маятника являются незатухающими, т.е. потеря энергии системы на трение малы по сравнению с запасом колебатель­ной энергии маятника;

2) время t соударения пули с маятником мало по сравнению с периодом колебаний t << T (баллистический режим).

Поэтому необходимо выяснить обеспечивается ли выполнение этих условий в данной лабораторной установке.

1.Отклонив маятник из положения равновесия, легко убедится, что амплитуда его колебаний довольно быстро уменьшается. Следова­тельно, модель незатухающих колебаний не является точной и приме­нение полученной в рамках этой модели формулы (7) может привести к систематической погрешности в определении скорости пули. Эту погрешность можно оценить. Для этого сравниваются графики зависи­мости амплитуды незатухающих и затухающих колебаний маятника от времени. В результате получено следующее соотношение для оценки систематической погрешности

где Q₁ и Q₂ - соответственно углы первого и второго максимального

отклонения маятника после попадания в него пули. Если Q₁ и Q₂

_{совпадают в пределах точности, с которой измеряется угол отклоне­ния Q маятника, то сист можно пренебречь и модель незатухающих колебаний справедлива.}

2. Оценим приближенно t.

Пусть t_n - момент, когда относительная скорость пули умень­шается по сравнению с начальной в n раз. При достаточно больших значениях n (n > 10), можно считать, что t_n мало отличается от t. Тогда можно получить оценку:

Полагая n = 10 и измерив приближенно S_o (глубина проникнове­ния пули при попадании в маятник), можно получить оценку для t ( выполнение неравенства t << T ).