- •Саратовский государственный технический университет
- •Введение
- •1. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент.
- •2. Векторное поле. Поток вектора через поверхность.
- •3. Циркуляция и работа векторного поля.
- •4. Дивергенция и ротор векторного поля.
- •5. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса в векторной форме.
- •6. Потенциал векторного поля.
- •7. Варианты заданий Задача 1
- •Задача 2
- •8. Примеры выполнения заданий Задание 1.
- •Задание 2.
- •8. Указания по оформлению и сдаче самостоятельной работы
- •Литература
Министерство образования и науки Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
Основы теории поля
Методические указания
к выполнению самостоятельной работы под контролем преподавателя
по дисциплине "Математика"
для студентов Энергетического факультета
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов – 2010
Введение
Методические указания предназначены для студентов Энергетического факультета и содержат краткие теоретические сведения и практические рекомендации к выполнению самостоятельной работы по разделу "Теория поля" дисциплины “Математика”.
Цель работы – оказание помощи студентам в изучении математического аппарата теории поля и применении его к задачам прикладного характера.
В методических указаниях приведены задания для самостоятельной работы выполняемой в третьем семестре. Задание выдается каждому студенту индивидуально.
1. Скалярное поле. Производная по направлению и градиент.
Говорят, что в области V пространства задано скалярное поле, если каждой точке М области V поставлено в соответствие некоторое число u=u(M). В реальном трехмерном пространстве точка имеет координаты x, y, z и u=u(x,y,z) Примерами скалярных полей являются поле температур, давления, влажности.
В некоторых науках, например, в метеорологии возникает вопрос о наглядном графическом представлении поля. Для этого в плоском случае используют линии уровня, а в пространственном – поверхности уровня. Поверхностью уровня скалярного поля u называется геометрическое место точек, в которых u принимает постоянное значение C. Уравнение поверхности уровня имеет вид
u(x,y,z) = C.
Поверхности уровня еще называют изоповерхностями. Придавая различные значения постоянной С, мы получим набор (семейство) поверхностей уровня. Это семейство наглядно характеризует скалярное поле. Места сближения изоповерхностей указывают на быстрое изменение поля. В случае плоского поля изоповерхности представляют собой линии уровня u(x,y)=C. Например, изобары и изотермы (линии одинаковых давлений и температур) в метеорологии.
Наиболее существенными характеристиками скалярного поля являются его дифференциальные характеристики - производная по направлению и градиент.
Пусть в пространстве, где задано скалярное поле u=u(x,y,z), имеется вектор с началом в точке М и направляющими косинусами cosα, cosβ и cosγ. Выберем на оси , вдоль которой направлен вектор , произвольную точку М1 отстоящую от точки М в направлении вектора . Тогда производной скалярного поля u(M) в направлении называется предел
,
где все частные производные вычисляются в точке М.
Производная по направлению характеризует скорость изменения поля u(M) в точке М в направлении вектора .
Градиентом скалярного поля u(x,y,z) называют вектор
,
где все частные производные вычисляются в точке М.
Градиент направлен по нормали к поверхности уровня скалярного поля в точке М в сторону возрастания функции u(x,y,z) и длина его равна .