- •Донецк 2009
- •Методические указания к индивидуальному заданию: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии линейная алгебра определители
- •Вопросы для самопроверки по теме "Определители"
- •Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Правило Крамера1
- •Метод Гаусса2
- •Матрицы
- •Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •Ранг матрицы
- •Ранг матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
- •Системы линейных однородных уравнений
- •Собственные значения и собственные векторы матрицы
- •Вопросы для самопроверки по темам "Системы линейных уравнений" и "Матрицы"
- •Аналитическая геометрия на плоскости прямая и окружность Уравнение линии. Окружность
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
- •Уравнение прямой в отрезках, отсекаемых ею на координатных осях
- •Взаимное расположение двух прямых Угол между двумя прямыми
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •Дальнейшие примеры
- •Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Парабола
- •Полярные координаты
- •Переход от декартовых прямоугольных координат к полярным и наоборот
- •Уравнения некоторых линий в полярных координатах
- •Преобразование координат
- •Способы задания кривых
- •Вопросы для самопроверки по теме "Аналитическая геометрия на плоскости"
- •Векторы
- •Проекция вектора на ось
- •Разложение вектора по базису
- •Декартов ортонормированный базис
- •Скалярное произведение двух векторов
- •Векторное произведение двух векторов
- •Смешанное произведение трех векторов14
- •Вопросы для самопроверки по теме "Векторы"
- •Аналитическая геометрия в пространстве уравнение поверхности
- •Плоскость Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору
- •Общее уравнение плоскости
- •Некоторые частные случаи общего уравнения плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •Уравнение плоскости в отрезках
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности
- •Задача о пересечении трех плоскостей
- •Пространственная прямая Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно заданному вектору
- •Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
- •Общие уравнения прямой
- •Угол между двумя прямыми Условия параллельности и перпендикулярности
- •Плоскость и пространственная прямая Пересечение прямой с плоскостью (и поверхностью)
- •Угол между пространственной прямой и плоскостью Условия параллельности и перпендикулярности
- •Вопросы для самопроверки по теме "Аналитическая геометрия в пространстве"
- •Содержание
Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
Пусть прямая проходит через две точки . Если мы возьмем вектор
в качестве направляющего вектора прямой, получим параметрические и канонические уравнения прямой в следующем виде:
( 22 )
На практике иногда бывает лучше взять и применить уравнения (20), (21).
Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки.
Направляющий вектор прямой
,
и на основании уравнений (20), (21)
Прямая перпендикулярна оси Ox.
Общие уравнения прямой
Прямая может быть задана как линия пересечения двух непараллельных плоскостей.
Пусть
,
- две непараллельные плоскости, то есть их нормальные векторы неколлинеарны. В этом случае система двух линейных уравнеий
( 23 )
представляет прямую l как линию пересечения плоскостей (рис. 12). Уравнения (23) называются общими уравнениями прямой.
Легко перейти от общих уравнений прямой к параметрическим и каноническим уравнениям. Рис. 12 Пусть, например,
.
В этом случае мы полагаем в общих уравнениях (23) и получаем систему уравнений относительно x и y
С отличным от нуля главным определителем. Находя из этой системы x, y, мы получаем параметрические уравнения прямой.
Существует иной способ перехода от общих уравнений прямой к параметрическим и каноническим. Мы можем найти направляющий вектор прямой
(рис. 12)
и затем какую-нибудь ее точку, полагая, например, в уравнениях (23).
Пример. Перейти к параметрическим и каноническим уравнениям прямой, заданной общими уравнениями
Первый способ. Полагая , получаем систему уравнений относительно x, y
,
,
и параметрические уравнения прямой суть
( * )
Из уравнений ( * ) мы получаем точку прямой и ее направляющий вектор .
Мы можем улучшить полученные уравнения ( * ). Во-первых, мы можем взять направляющий вектор прямой в виде и получить
Полагая далее , мы получаем точку прямой с целыми координатами . Наконец, мы записываем усовершенствованные параметрические и канонические уравнения прямой
.
Второй способ. Направляющий вектор прямой
.
Полагая далее в общих уравнениях прямой и решая систему уравнений
получаем точку прямой и составляем искомые уравнения
Угол между двумя прямыми Условия параллельности и перпендикулярности
Угол между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами,
,
и, следовательно,
. ( 24 )
Две прямые параллельны тогда и только тогда, если их направляющие векторы коллинеарны, то есть
. ( 25 )
Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, если их направляю-щие векторы перпендикулярны, именно:
. ( 26 )
Пример. Составить уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно прямой
В качестве направляющего вектора искомой прямой мы можем взять направляющий вектор данной прямой. Последний коллинеарен векторному произведению нормальных векторов , плоскостей, определяющих данную прямую (рис. 12). Итак,
,
на основании чего получаем параметрические и канонические уравнения искомой прямой
.
Пример. Доказать, что прямые
Не параллельны и лежат в одной плоскости (рис. 13). Составить уравнение этой плоскости. Найти точку пересечения прямых.
Уравнения прямых дают нам точку и направляющий вектор прямой , точку и направляющий вектор прямой .
Рис. 13 Векторы не коллинеарны, и поэтому прямые не параллельны.
Далее, вектор и векторное произведение направляющих векторов прямых
перпендикулярны (), а это означает, что прямые лежат в одной плоскости . Ее нормальный вектор и уравнение по-лучаем обычным путем,
Чтобы найти точку пересечения прямых, запишем сначала параметрические уравнения второй прямой , используя другой параметр, например, ,
Приравниваем далее правые части двух первых уравнений обеих прямых
и решаем полученную систему уравнений относительно t и
Получаем . Подставляя в уравнения первой прямой или в уравнения второй, мы находим координаты точки пересечения прямых, именно.
Пример (для самостоятельного решения). Доказать, что прямые
параллельны, и составить уравнение плоскости, в которой они обе находятся.