- •Кафедра высшей математики Элементы векторной алгебры
- •1. Векторы
- •2. Линейные операции над векторами
- •3. Проекция вектора на ось. Координаты вектора
- •4. Деление отрезка в данном соотношении
- •5. Скалярное произведение векторов и его приложения
- •Задание 1
- •6. Векторное произведение векторов и его приложения
- •7. Смешанное произведение векторов и его приложения
- •Задание 2
- •8. Понятие базиса
- •Задание 3
- •Контрольная работа Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
5. Скалярное произведение векторов и его приложения
Скалярным произведением двух векторов и называется число , равное произведению данных векторов на косинус угла между ними
,
где обозначает меньший угол между направлениями векторов и , причем всегда .
Свойства скалярного произведения векторов:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ·= 0 ↔ , т.е. если ненулевые векторы ортогональны.
Если векторы и разложены по осям координат, т.е. и , то скалярное произведение находится по формуле
,
т.е. сумме произведений соответствующих координат.
С помощью скалярного произведения можно определить угол между векторами:
.
Работа A силы , произведенная этой силой при перемещении тела на пути |S|, определяемом вектором , вычисляется по формуле
.
Задание 1
По координатам точек A, B и C для указанных векторов найти:
а) модуль вектора ;
б) скалярное произведение векторов и ;
в) проекцию вектора на вектор ;
г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении α:β;
д) угол между векторами и ;
е) направляющие косинусы вектора .
1.1. A(4, 6, 3), B(– 5, 2, 6), C(4, – 4, – 3),
= 4–, = , = , = ,
l = AB, α = 5, β = 4.
1.2. A(4, 3, – 2), B(– 3, – 1, 4), C(2, 2, 1),
= – 5 + 2, = , = , = ,
l = BC, α = 2, β = 3.
1.3. A(– 2, – 2, 4), B(1, 3, – 2), C(1, 4, 2),
= 2 – 3, = , = , = ,
l = BA, α = 2, β = 1.
1.4. A(2, 4, 3), B(3, 1, – 4), C(– 1, 2, 2),
= 2 + 4, = , = , = ,
l = BA, α = 1, β = 4.
1.5. A(2, 4, 5), B(1, – 2, 3), C(– 1, – 2, 4),
= 3 – 4, = , = , = ,
l = AB, α = 2, β = 3.
1.6. A(– 1, – 2, 4), B(– 1, 3, 5), C(1, 4, 2),
= 3 – 7, = , = , = ,
l = AC, α = 1, β = 7.
1.7. A(1, 3, 2), B(– 2, 4, – 1), C(1, 3, – 2),
= 2 + 5, = , = , = ,
l = AB, α = 2, β = 4.
1.8. A(2, – 4, 3), B(– 3, – 2, 4), C(0, 0, – 2),
= 3 – 4, = = , = ,
l = AC, α = 2, β = 1.
1.9. A(3, 4, – 4), B(– 2, 1, 2), C(2, – 3, 1),
= 5 + 4, = = , = ,
l = BA, α = 2, β = 5.
1.10. A(0, 2, 5), B(2, – 3, 4), C(3, 2, – 5),
= – 3 + 4, = = , = ,
l = AC, α = 3, β = 2.
1.11. A(– 2, – 3, – 4), B(2, – 4, 0), C(1, 4, 5),
= 4 – 8, = = , = ,
l = AB, α = 4, β = 2.
1.12. A(– 2, – 3, – 2), B(1, 4, 2), C(1, – 3, 3),
= 2 – 4, = = , = ,
l = BC, α = 3, β = 1.
1.13. A(5, 6, 1), B(– 2, 4, – 1), C(3, – 3, 3),
= 3 – 4, = = , = ,
l = BC, α = 3, β = 2.
1.14. A(10, 6, 3), B(– 2, 4, 5), C(3, – 4, – 6),
= 5 – 2, = = , = ,
l = CB, α = 1, β = 5.
1.15. A(3, 2, 4), B(– 2, 1, 3), C(2, – 2, – 1),
= 4 – 3, = , = , = ,
l = AC, α = 2, β = 4.
1.16. A(– 2, 3, – 4), B(3, – 1, 2), C(4, 2, 4),
= 7 + 4, = = , = ,
l = AB, α = 2, β = 5.
1.17. A(4, 5, 3), B(– 4, 2, 3), C(5, – 6, – 2),
= 9 – 4, = = , = ,
l = BC, α = 5, β = 1.
1.18. A(2, 4, 6), B(– 3, 5, 1), C(4, – 5, – 4),
= – 6 + 2, = = , = ,
l = BC, α = 1, β = 3.
1.19. A(– 4, – 2, – 5), B(3, 7, 2), C(4, 6, – 3),
= 9 + 3, = = , = ,
l = BA, α = 4, β = 3.
1.20. A(5, 4, 4), B(– 5, 2, 3), C(4, 2, – 5),
= 11 – 6, = , = , = ,
l = BC, α = 3, β = 1.
1.21. A(3, 4, 6), B(– 4, 6, 4), C(5, – 2, – 3),
= – 7 + 4, = , = , = ,
l = BA, α = 5, β = 3.
1.22. A(– 5, – 2, – 6), B(3, 4, 5), C(2, – 5, 4),
= 8 – 5, = = , = ,
l = AC, α = 3, β = 4.
1.23. A(3, 4, 1), B(5, – 2, 6), C(4, 2, – 7),
= – 7 + 5, = = , = ,
l = AB, α = 2, β = 3.
1.24. A(4, 3, 2), B(– 4, – 3, 5), C(6, 4, – 3),
= 8 – 5, = = , = ,
l = BC, α = 2, β = 5.
1.25. A(– 5, 4, 3), B(4, 5, 2), C(2, 7, – 4),
= 3 + 2, = = , = ,
l = BC, α = 3, β = 4.
1.26. A(6, 4, 5), B(– 7, 1, 8), C(2, – 2, – 7),
= 5 – 2, = , = , = ,
l = AB, α = 3, β = 2.
1.27. A(6, 5, – 4), B(– 5, – 2, 2), C(3, 3, 2),
= 6 – 3, = = , = ,
l = BC, α = 1, β = 5.
1.28. A(– 3, – 5, 6), B(3, 5, – 4), C(2, 6, 4),
= 4 – 5, = , = , = ,
l = BA, α = 4, β = 2.
1.29. A(3, 5, 4), B(4, 2, – 3), C(– 2, 4, 7),
= 3 – 4, = , = , = ,
l = BA, α = 2, β = 5.
1.30. A(4, 6, 7), B(2, – 4, 1), C(– 3, – 4, 2),
= 5 – 2, = = , = ,
l = AB, α = 3, β = 4.
Пример решения задания 1
По координатам точек A(– 5, 1, 6), B(1, 4, 3) и C(6, 3, 9) найти:
а) модуль вектора = 4 + ;
б) скалярное произведение векторов и = ;
в) проекцию вектора = на вектор = ;
г) координаты точки M, делящей отрезок l = AB в отношении 1:3;
д) угол между векторами и ;
е) направляющие косинусы .
►а) Последовательно находим = (6, 3, – 3), = (5, – 1, 6), 4 + = (29, 11, – 6),
;
б) Имеем: = (29, 11, – 6), = (5, – 1, 6). Тогда
·=29·5 + 11·(– 1) + (– 6)·6 = 98;
в) Так как
прd = , = (6, 3, – 3),
· = 30 – 3 – 18 = 9, || = ,
то
;
г) Имеем: λ = , . Следовательно,
, ,
, ;
д) Имеем: = (29, 11, – 6), = (5, – 1, 6), , = 98. Тогда
= == 0,394,
= arccos 0,394;
е) Имеем: = (6, 3, – 3), = . Тогда
, , .
Делаем проверку:
,
.◄