- •Оглавление
- •Введение
- •1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Занятие № 5. Линейные пространства.
- •Занятие № 6. Евклидовы пространства.
- •Занятие № 7. Линейные операторы и матрицы.
- •Занятие № 10. Скалярное произведение векторов.
- •Занятие № 11. Векторное и смешанное произведение векторов.
- •Занятие № 12. Прямая на плоскости.
- •Занятие № 13. Кривые второго порядка.
- •Занятие № 14. Преобразование координат на плоскости. Приведение уравнений к каноническому виду.
- •Занятие № 15. Плоскость в пространстве.
- •Занятие № 16. Прямая в пространстве.
- •Занятие № 17. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
- •Занятие № 18. Поверхности в пространстве.
- •2. Введение в математический анализ.
- •21.3. Доказать, что последовательность
- •4. Интегральное исчисление функций одной переменной.
- •5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •Занятие № 46. Пределы и непрерывность функции нескольких переменных.
- •Занятие № 47. Частные производные и дифференциалы.
- •Занятие № 48. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Занятие № 49. Производная по направлению. Градиент.
- •6. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Занятие № 53. Двойные интегралы.
- •7. Ряды.
- •8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •19.1. A); б); в); г). 19.2. А); б); в); г). 19.3. А) четная; б) общего вида; в) нечетная.
- •27.4. Касательная , нормаль . 27.5.
- •Рекомендуемая литература
Занятие № 5. Линейные пространства.
5.1. Являются ли следующие системы векторов линейно независимыми:
а) ;
б) ;
в)
г) .
5.2. Вычислить ранги систем векторов:
а)
б)
в)
5.3. В некотором базисе заданы векторы
Найти разложение вектора b по базису
5.4. Разложить вектор по базису
5.5. Выразить координаты вектора в новом базисе через координаты в старом базисе, если старый базис , а новый базис
5.6. Разложить вектор по базису с применением матрицы перехода от одного базиса к другому.
5.7. Найти размерность и базисы линейных подпространств, натянутых на системы векторов:
а)
б)
5.8. Найти базис подпространства, заданного системой уравнений:
5.9. Найти базис подпространства, заданного уравнением .
5.10. Найти систему линейных уравнений, задающую линейное подпространство, содержащие векторы:
а)
б)
Занятие № 6. Евклидовы пространства.
6.1. Проверить, что векторы и попарно ортогональны и достроить их до ортогонального базиса.
6.2. Проверить, что векторы и попарно ортогональны и достроить их до ортогонального базиса.
6.3. Найти векторы, дополняющие следующие системы векторов до ортонормированных базисов:
а)
б)
6.4. Применяя процесс ортогонализации и нормирование векторов, ортонормировать систему векторов:
а)
б) ,
6.5. Подпространство L евклидова пространства задано в некотором ортонормированном базисе системой линейных уравнений. Найти хотя бы один ортонормированный базис в L:
а) ; б) ;
в) .
Занятие № 7. Линейные операторы и матрицы.
7.1. Линейный оператор трехмерного линейного пространства задан в стандартном базисе матрицей
Найти образы следующих векторов:
7.2. Линейный оператор L двумерного векторного пространства переводит векторы
в векторы Вычислить матрицу оператора L в стандартном базисе.
7.3. Линейный оператор L имеет в данном базисе матрицу
,
а координатные столбцы новых базисных векторов образуют матрицу
.
Вычислить матрицу преобразования в новом базисе.
7.4. Линейный оператор L имеет в данном базисе матрицу
,
а координатные столбцы новых базисных векторов образуют матрицу
.
Вычислить матрицу преобразования в новом базисе.
7.5. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:
а) б) в) г) д) .
Занятие № 8.
Квадратичные формы.
8.1. Записать квадратичную форму в матричном виде:
а) ;
б)
8.2. Привести к каноническому виду квадратичную форму:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е)
8.3. Найти линейное преобразование, переводящее квадратичную форму f(x) в квадратичную форму g(y):
а) ;
;
б) ;
;
в) ;
.
Занятие № 9.
Векторы и линейные операции над ними.
9.1. В треугольнике АВС медианы пересекаются в точке М. Доказать:
а) ; б) для любой точки О выполняется равенство: .
9.2. Дан треугольник АВС, О – точка пересечения его медиан, М,Р и Q – середины сторон АВ, ВС и АС соответственно. Найти координаты векторов АВ, ВС и АС в базисе .
9.3. Выяснить, является ли система векторов базисом плоскости. Если является, то найти координаты вектора в этом базисе.
9.4. Выяснить, образуют ли векторы базис пространства. Если да, то найти координаты вектора относительно этого базиса.
9.5. Выяснить, компланарны ли векторы Если компланарны, то найти координаты вектора в базисе .
9.6. Лежат ли точки на одной прямой?.
9.7. Доказать, что четырехугольник с вершинами
является трапецией.
9.8. Даны координаты четырех вершин параллелепипеда . Определить координаты остальных вершин:
а)
б)
в)
9.9. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти координаты точки пересечения биссектрисы угла А со стороной ВС:
а)
б)
9.10. Даны координаты двух смежных вершин квадрата. Найти его площадь:
а) ;
б)
9.11. Даны две координаты вектора : y=4; z=-12. Определить его первую координату x при условии, что .
9.12. Дан модуль вектора и углы, образованные с осями координат: α=135º; β=120º; γ=60˚. Найти проекции вектора на координатные оси.
9.13. Определить координаты вектора , составляющего с осями координат равные углы при условии, что .
9.14. Написать разложение вектора по векторам , , :
9.15. Написать разложение вектора по векторам , , :
9.16. Выяснить являются ли векторы и линейно зависимыми?
9.17. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
a)
b)
9.18. Найти координаты точки А, делящей отрезок в отношении , если , .